Theorem addgt0sr 5185

Description: The sum of two positive signed reals is positive.

Hypotheses

Ref	Expression
addgt0sr.1	|- A e. V
addgt0sr.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
addgt0sr	|- ((0R <R A /\ 0R <R B) -> 0R <R (A +R B))

Proof of Theorem addgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addgt0sr.1	. . . . . 6 |- A e. V
2		ltrelsr 5152	. . . . . 6 |- <R (_ (R. X. R.)
3	1, 2	brel 3213	. . . . 5 |- (0R <R A -> (0R e. R. /\ A e. R.))
4	3	pm3.27d 325	. . . 4 |- (0R <R A -> A e. R.)
5		0r 5161	. . . . . . 7 |- 0R e. R.
6	5	elisseti 1809	. . . . . 6 |- 0R e. V
7		addgt0sr.2	. . . . . 6 |- B e. V
8	6, 7	ltasr 5181	. . . . 5 |- (A e. R. -> (0R <R B <-> (A +R 0R) <R (A +R B)))
9		0idsr 5178	. . . . . 6 |- (A e. R. -> (A +R 0R) = A)
10	9	breq1d 2619	. . . . 5 |- (A e. R. -> ((A +R 0R) <R (A +R B) <-> A <R (A +R B)))
11	8, 10	bitrd 526	. . . 4 |- (A e. R. -> (0R <R B <-> A <R (A +R B)))
12	4, 11	syl 10	. . 3 |- (0R <R A -> (0R <R B <-> A <R (A +R B)))
13	12	biimpa 416	. 2 |- ((0R <R A /\ 0R <R B) -> A <R (A +R B))
14		ltsosr 5175	. . 3 |- <R Or R.
15		oprex 3968	. . 3 |- (A +R B) e. V
16	6, 14, 2, 1, 15	sotri 3429	. 2 |- ((0R <R A /\ A <R (A +R B)) -> 0R <R (A +R B))
17	13, 16	syldan 467	1 |- ((0R <R A /\ 0R <R B) -> 0R <R (A +R B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 955  Vcvv 1802   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  R.cnr 4965  0Rc0r 4966   +R cplr 4969   <R cltr 4971

This theorem is referenced by:  ssgt0sr 5189

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-ltr 5142  df-0r 5143

Copyright terms: Public domain