Theorem addcompr 5123

Description: Addition of positive reals is commutative. Proposition 9-3.5(ii) of [Gleason] p. 123.

Hypotheses

Ref	Expression
addcompr.1	|- A e. V
addcompr.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
addcompr	|- (A +P. B) = (B +P. A)

Proof of Theorem addcompr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plpv 5113	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A +P. B) = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z))})
2		plpv 5113	. . . . 5 |- ((B e. P. /\ A e. P.) -> (B +P. A) = {x | E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z +Q y))})
3		ancom 435	. . . . . . . . 9 |- ((z e. B /\ y e. A) <-> (y e. A /\ z e. B))
4		visset 1813	. . . . . . . . . . 11 |- z e. V
5		visset 1813	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
6	4, 5	addcompq 5062	. . . . . . . . . 10 |- (z +Q y) = (y +Q z)
7	6	eqeq2i 1485	. . . . . . . . 9 |- (x = (z +Q y) <-> x = (y +Q z))
8	3, 7	anbi12i 482	. . . . . . . 8 |- (((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z +Q y)) <-> ((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z)))
9	8	2exbii 1052	. . . . . . 7 |- (E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z +Q y)) <-> E.zE.y((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z)))
10		excom 1046	. . . . . . 7 |- (E.zE.y((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z)) <-> E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z)))
11	9, 10	bitr 173	. . . . . 6 |- (E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z +Q y)) <-> E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z)))
12	11	abbii 1575	. . . . 5 |- {x | E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z +Q y))} = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z))}
13	2, 12	syl6eq 1523	. . . 4 |- ((B e. P. /\ A e. P.) -> (B +P. A) = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z))})
14	13	ancoms 436	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (B +P. A) = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z))})
15	1, 14	eqtr4d 1510	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A +P. B) = (B +P. A))
16		addcompr.2	. . 3 |- B e. V
17		dmplp 5115	. . 3 |- dom +P. = (P. X. P.)
18		addcompr.1	. . 3 |- A e. V
19	16, 17, 18	ndmoprcom 4047	. 2 |- (-. (A e. P. /\ B e. P.) -> (A +P. B) = (B +P. A))
20	15, 19	pm2.61i 126	1 |- (A +P. B) = (B +P. A)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  Vcvv 1811  (class class class)co 3963   +Q cplq 4981  P.cnp 4985   +P. cpp 4987

This theorem is referenced by:  dmenr 5175  enrer 5176  addcmpblnr 5181  mulcmpblnrlem 5182  ltsrpr 5186  addcomsr 5196  mulcomsr 5198  mulasssr 5199  distrsr 5200  ltsosr 5203  0lt1sr 5204  0idsr 5206  1idsr 5207  ltasr 5209  recexsrlem 5212  mulgt0sr 5214  mappsrpr 5218  ltpsrpr 5219  map2psrpr 5220

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-plpq 5035  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-plp 5088

Copyright terms: Public domain