Theorem addcnsrec 5243

Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. See dfcnqs 5242 and mulcnsrec 5244.

Assertion

Ref	Expression
addcnsrec	|- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (C e. R. /\ D e. R.)) -> ([<.A, B>.]`'E + [<.C, D>.]`'E) = [<.(A +R C), (B +R D)>.]`'E)

Proof of Theorem addcnsrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcnsr 5233	. 2 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (C e. R. /\ D e. R.)) -> (<.A, B>. + <.C, D>.) = <.(A +R C), (B +R D)>.)
2		opex 2777	. . . 4 |- <.A, B>. e. V
3	2	ecid 4290	. . 3 |- [<.A, B>.]`'E = <.A, B>.
4		opex 2777	. . . 4 |- <.C, D>. e. V
5	4	ecid 4290	. . 3 |- [<.C, D>.]`'E = <.C, D>.
6	3, 5	opreq12i 3964	. 2 |- ([<.A, B>.]`'E + [<.C, D>.]`'E) = (<.A, B>. + <.C, D>.)
7		opex 2777	. . 3 |- <.(A +R C), (B +R D)>. e. V
8	7	ecid 4290	. 2 |- [<.(A +R C), (B +R D)>.]`'E = <.(A +R C), (B +R D)>.
9	1, 6, 8	3eqtr4g 1528	1 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (C e. R. /\ D e. R.)) -> ([<.A, B>.]`'E + [<.C, D>.]`'E) = [<.(A +R C), (B +R D)>.]`'E)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  <.cop 2407  Ecep 2825  `'ccnv 3164  (class class class)co 3954  [cec 4249  R.cnr 4973   +R cplr 4977   + caddc 5217

This theorem is referenced by:  axaddcom 5255  axaddass 5257  axdistr 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-eprel 2827  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-ec 4253  df-c 5220  df-plus 5225

Copyright terms: Public domain