Theorem addclsr 5172

Description: Closure of addition on signed reals.

Assertion

Ref	Expression
addclsr	|- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A +R B) e. R.)

Proof of Theorem addclsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5147	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		opreq1 3959	. . . 4 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.z, w>.] ~R ) = (A +R [<.z, w>.] ~R ))
3	2	eleq1d 1537	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> (([<.x, y>.] ~R +R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R ) <-> (A +R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R )))
4		opreq2 3960	. . . 4 |- ([<.z, w>.] ~R = B -> (A +R [<.z, w>.] ~R ) = (A +R B))
5	4	eleq1d 1537	. . 3 |- ([<.z, w>.] ~R = B -> ((A +R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R ) <-> (A +R B) e. ((P. X. P.)/. ~R )))
6		addsrpr 5164	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.z, w>.] ~R ) = [<.(x +P. z), (y +P. w)>.] ~R )
7		addclpr 5100	. . . . . . 7 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x +P. z) e. P.)
8		addclpr 5100	. . . . . . 7 |- ((y e. P. /\ w e. P.) -> (y +P. w) e. P.)
9	7, 8	anim12i 333	. . . . . 6 |- (((x e. P. /\ z e. P.) /\ (y e. P. /\ w e. P.)) -> ((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.))
10	9	an4s 508	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.))
11		opelxpi 3212	. . . . 5 |- (((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.) -> <.(x +P. z), (y +P. w)>. e. (P. X. P.))
12		enrex 5158	. . . . . 6 |- ~R e. V
13	12	ecelqsi 4282	. . . . 5 |- (<.(x +P. z), (y +P. w)>. e. (P. X. P.) -> [<.(x +P. z), (y +P. w)>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
14	10, 11, 13	3syl 20	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> [<.(x +P. z), (y +P. w)>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
15	6, 14	eqeltrd 1545	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R ))
16	1, 3, 5, 15	2ecoptocl 4294	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A +R B) e. ((P. X. P.)/. ~R ))
17	16, 1	syl6eleqr 1556	1 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A +R B) e. R.)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  <.cop 2407   X. cxp 3163  (class class class)co 3954  [cec 4249  /.cqs 4250  P.cnp 4965   +P. cpp 4967   ~R cer 4972  R.cnr 4973   +R cplr 4977

This theorem is referenced by:  dmaddsr 5174  supsrlem1 5205  supsrlem2 5206  axaddopr 5245  axmulopr 5246  axaddrcl 5252  axaddass 5257  axmulass 5258  axdistr 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-plp 5068  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148

Copyright terms: Public domain