Theorem addcani 6301

Description: Cancellation law for addition. Theorem I.1 of [Apostol] p. 18. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcan.1	|- A e. CC
addcan.2	|- B e. CC
addcan.3	|- C e. CC

Assertion

Ref	Expression
addcani	|- ((A + B) = (A + C) <-> B = C)

Proof of Theorem addcani

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcan.1	. . . 4 |- A e. CC
2	1	cnegexi 6299	. . 3 |- E.x e. CC (A + x) = 0
3		addcan.2	. . . . . . . . 9 |- B e. CC
4		add23 6286	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ x e. CC) -> ((A + B) + x) = ((A + x) + B))
5	1, 3, 4	mp3an12 1028	. . . . . . . 8 |- (x e. CC -> ((A + B) + x) = ((A + x) + B))
6		addcan.3	. . . . . . . . 9 |- C e. CC
7		add23 6286	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ C e. CC /\ x e. CC) -> ((A + C) + x) = ((A + x) + C))
8	1, 6, 7	mp3an12 1028	. . . . . . . 8 |- (x e. CC -> ((A + C) + x) = ((A + x) + C))
9	5, 8	eqeq12d 1736	. . . . . . 7 |- (x e. CC -> (((A + B) + x) = ((A + C) + x) <-> ((A + x) + B) = ((A + x) + C)))
10		opreq1 4700	. . . . . . . 8 |- ((A + x) = 0 -> ((A + x) + B) = (0 + B))
11		opreq1 4700	. . . . . . . 8 |- ((A + x) = 0 -> ((A + x) + C) = (0 + C))
12	10, 11	eqeq12d 1736	. . . . . . 7 |- ((A + x) = 0 -> (((A + x) + B) = ((A + x) + C) <-> (0 + B) = (0 + C)))
13	9, 12	sylan9bb 596	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ (A + x) = 0) -> (((A + B) + x) = ((A + C) + x) <-> (0 + B) = (0 + C)))
14	3	addid2i 6280	. . . . . . . 8 |- (0 + B) = B
15	6	addid2i 6280	. . . . . . . 8 |- (0 + C) = C
16	14, 15	eqeq12i 1734	. . . . . . 7 |- ((0 + B) = (0 + C) <-> B = C)
17	16	biimpi 167	. . . . . 6 |- ((0 + B) = (0 + C) -> B = C)
18	13, 17	syl6bi 230	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ (A + x) = 0) -> (((A + B) + x) = ((A + C) + x) -> B = C))
19		opreq1 4700	. . . . 5 |- ((A + B) = (A + C) -> ((A + B) + x) = ((A + C) + x))
20	18, 19	syl5 20	. . . 4 |- ((x e. CC /\ (A + x) = 0) -> ((A + B) = (A + C) -> B = C))
21	20	r19.23aiva 2046	. . 3 |- (E.x e. CC (A + x) = 0 -> ((A + B) = (A + C) -> B = C))
22	2, 21	ax-mp 7	. 2 |- ((A + B) = (A + C) -> B = C)
23		opreq2 4701	. 2 |- (B = C -> (A + B) = (A + C))
24	22, 23	impbii 173	1 |- ((A + B) = (A + C) <-> B = C)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 162   /\ wa 239   = wceq 1136   e. wcel 1138  E.wrex 1940  (class class class)co 4695  CCcc 6180  0cc0 6182   + caddc 6185

This theorem is referenced by:  addcan 6303  negnegi 6345  negdii 6407  nn0opthi 7711  crui 7782  cjrebi 7826  pjneli 11095  lnopunilem1 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-0r 6119  df-1r 6120  df-m1r 6121  df-c 6188  df-0 6189  df-1 6190  df-i 6191  df-r 6192  df-plus 6193  df-mul 6194

Copyright terms: Public domain