Theorem addasspi 5023

Description: Addition of positive integers is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
addasspi.1	|- B e. V
addasspi.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
addasspi	|- ((A +N B) +N C) = (A +N (B +N C))

Proof of Theorem addasspi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaass 4237	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> ((A +o B) +o C) = (A +o (B +o C)))
2		pinn 5006	. . . 4 |- (A e. N. -> A e. om)
3		pinn 5006	. . . 4 |- (B e. N. -> B e. om)
4		pinn 5006	. . . 4 |- (C e. N. -> C e. om)
5	1, 2, 3, 4	syl3an 868	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> ((A +o B) +o C) = (A +o (B +o C)))
6		addpiord 5012	. . . . . 6 |- (((A +N B) e. N. /\ C e. N.) -> ((A +N B) +N C) = ((A +N B) +o C))
7		addclpi 5020	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A +N B) e. N.)
8	6, 7	sylan 448	. . . . 5 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((A +N B) +N C) = ((A +N B) +o C))
9		addpiord 5012	. . . . . . 7 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A +N B) = (A +o B))
10	9	opreq1d 3975	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A +N B) +o C) = ((A +o B) +o C))
11	10	adantr 389	. . . . 5 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((A +N B) +o C) = ((A +o B) +o C))
12	8, 11	eqtrd 1507	. . . 4 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((A +N B) +N C) = ((A +o B) +o C))
13	12	3impa 828	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> ((A +N B) +N C) = ((A +o B) +o C))
14		addpiord 5012	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ (B +N C) e. N.) -> (A +N (B +N C)) = (A +o (B +N C)))
15		addclpi 5020	. . . . . 6 |- ((B e. N. /\ C e. N.) -> (B +N C) e. N.)
16	14, 15	sylan2 451	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ (B e. N. /\ C e. N.)) -> (A +N (B +N C)) = (A +o (B +N C)))
17		addpiord 5012	. . . . . . 7 |- ((B e. N. /\ C e. N.) -> (B +N C) = (B +o C))
18	17	opreq2d 3976	. . . . . 6 |- ((B e. N. /\ C e. N.) -> (A +o (B +N C)) = (A +o (B +o C)))
19	18	adantl 388	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ (B e. N. /\ C e. N.)) -> (A +o (B +N C)) = (A +o (B +o C)))
20	16, 19	eqtrd 1507	. . . 4 |- ((A e. N. /\ (B e. N. /\ C e. N.)) -> (A +N (B +N C)) = (A +o (B +o C)))
21	20	3impb 829	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A +N (B +N C)) = (A +o (B +o C)))
22	5, 13, 21	3eqtr4d 1517	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> ((A +N B) +N C) = (A +N (B +N C)))
23		addasspi.1	. . 3 |- B e. V
24		dmaddpi 5018	. . 3 |- dom +N = (N. X. N.)
25		addasspi.2	. . 3 |- C e. V
26		0npi 5010	. . 3 |- -. (/) e. N.
27	23, 24, 25, 26	ndmoprass 4048	. 2 |- (-. (A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> ((A +N B) +N C) = (A +N (B +N C)))
28	22, 27	pm2.61i 126	1 |- ((A +N B) +N C) = (A +N (B +N C))

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  omcom 3131  (class class class)co 3963   +o coa 4130  N.cnpi 4972   +N cpli 4973

This theorem is referenced by:  addasspq 5063

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-oadd 4135  df-ni 5000  df-pli 5001

Copyright terms: Public domain