Theorem aceq7 4743

Description: Equivalence of the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 and our Axiom of Choice (in the form of ac2 4746). The proof does not depend AC on but does depend on the Axiom of Regularity.

Assertion

Ref	Expression
aceq7	|- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u))

Distinct variable group:   x,z,f,y,w,v,u

Proof of Theorem aceq7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq6b 4742	. . 3 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) -> A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
2		aceq6a 4741	. . 3 |- (A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x))
3	1, 2	impbi 157	. 2 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
4		aceq2 4731	. . 3 |- (E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
5	4	albii 999	. 2 |- (A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
6	3, 5	bitr4 176	1 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   e. wcel 958  E.wex 980   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646  E!wreu 1647   (_ wss 2047  (/)c0 2280  dom cdm 3170   Fn wfn 3177

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-eprel 2832  df-id 2835  df-fr 2917  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain