Theorem aceq6a 4713

Description: Our Axiom of Choice (in the form of ac3 4719) implies the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. See aceq6b 4714 for the converse (which does use the Axiom of Regularity).

Assertion

Ref	Expression
aceq6a	|- (A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x))

Distinct variable group:   x,z,f,y,w,v

Proof of Theorem aceq6a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (u = z -> (w e. u <-> w e. z))
2		eleq1 1526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (u = z -> (u e. v <-> z e. v))
3	2	anbi1d 615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (u = z -> ((u e. v /\ w e. v) <-> (z e. v /\ w e. v)))
4	3	rexbidv 1656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (u = z -> (E.v e. y (u e. v /\ w e. v) <-> E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
5	1, 4	anbi12d 626	. . . . . . . . . . . . 13 |- (u = z -> ((w e. u /\ E.v e. y (u e. v /\ w e. v)) <-> (w e. z /\ E.v e. y (z e. v /\ w e. v))))
6	5	abbidv 1569	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = z -> {w | (w e. u /\ E.v e. y (u e. v /\ w e. v))} = {w | (w e. z /\ E.v e. y (z e. v /\ w e. v))})
7		df-rab 1644	. . . . . . . . . . . 12 |- {w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)} = {w | (w e. u /\ E.v e. y (u e. v /\ w e. v))}
8		df-rab 1644	. . . . . . . . . . . 12 |- {w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} = {w | (w e. z /\ E.v e. y (z e. v /\ w e. v))}
9	6, 7, 8	3eqtr4g 1523	. . . . . . . . . . 11 |- (u = z -> {w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)} = {w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)})
10	9	unieqd 2502	. . . . . . . . . 10 |- (u = z -> U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)} = U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)})
11		eqid 1468	. . . . . . . . . 10 |- {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}
12		visset 1804	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. V
13	12	rabex 2715	. . . . . . . . . . 11 |- {w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} e. V
14	13	uniex 2861	. . . . . . . . . 10 |- U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} e. V
15	10, 11, 14	fvopab4 3765	. . . . . . . . 9 |- (z e. x -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) = U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)})
16	15	eleq1d 1532	. . . . . . . 8 |- (z e. x -> (({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z <-> U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} e. z))
17		reucl 2875	. . . . . . . 8 |- (E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v) -> U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} e. z)
18	16, 17	syl5bir 210	. . . . . . 7 |- (z e. x -> (E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z))
19	18	imim2d 25	. . . . . 6 |- (z e. x -> ((z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> (z =/= (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z)))
20	19	r19.20i 1696	. . . . 5 |- (A.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z))
21		visset 1804	. . . . . . 7 |- x e. V
22	21	opabex2 3596	. . . . . 6 |- {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} e. V
23		fveq1 3708	. . . . . . . . 9 |- (f = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} -> (f` z) = ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z))
24	23	eleq1d 1532	. . . . . . . 8 |- (f = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} -> ((f` z) e. z <-> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z))
25	24	imbi2d 610	. . . . . . 7 |- (f = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} -> ((z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> (z =/= (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z)))
26	25	ralbidv 1655	. . . . . 6 |- (f = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} -> (A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z)))
27	22, 26	cla4ev 1860	. . . . 5 |- (A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z) -> E.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
28	20, 27	syl 10	. . . 4 |- (A.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> E.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
29	28	19.23aiv 1290	. . 3 |- (E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> E.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
30	29	19.20i 989	. 2 |- (A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
31		aceq3 4705	. 2 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
32	30, 31	sylibr 200	1 |- (A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  {cab 1456   =/= wne 1577  A.wral 1637  E.wrex 1638  E!wreu 1639  {crab 1640   (_ wss 2037  (/)c0 2270  U.cuni 2493  {copab 2656  dom cdm 3160   Fn wfn 3167  ` cfv 3172

This theorem is referenced by:  aceq7 4715  ac7 4720

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188

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