Theorem aceq4 4734

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The left-hand side is similar to the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49. The right-hand side is Axiom AC of [BellMachover] p. 488. The proof does not depend on AC.

Assertion

Ref	Expression
aceq4	|- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.f(f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)))

Distinct variable group:   x,f,z

Proof of Theorem aceq4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq3 4733	. 2 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
2		fveq1 3723	. . . . . . . . 9 |- (f = y -> (f` z) = (y` z))
3	2	eleq1d 1540	. . . . . . . 8 |- (f = y -> ((f` z) e. z <-> (y` z) e. z))
4	3	imbi2d 612	. . . . . . 7 |- (f = y -> ((z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> (z =/= (/) -> (y` z) e. z)))
5	4	ralbidv 1663	. . . . . 6 |- (f = y -> (A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> A.z e. x (z =/= (/) -> (y` z) e. z)))
6	5	cbvexv 1315	. . . . 5 |- (E.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> (y` z) e. z))
7		fveq2 3724	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = z -> (y` w) = (y` z))
8		eqid 1475	. . . . . . . . . . . . 13 |- {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} = {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}
9		fvex 3732	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y` z) e. V
10	7, 8, 9	fvopab4 3780	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. x -> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) = (y` z))
11	10	eleq1d 1540	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. x -> (({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z <-> (y` z) e. z))
12	11	imbi2d 612	. . . . . . . . . 10 |- (z e. x -> ((z =/= (/) -> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z) <-> (z =/= (/) -> (y` z) e. z)))
13	12	ralbiia 1673	. . . . . . . . 9 |- (A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z) <-> A.z e. x (z =/= (/) -> (y` z) e. z))
14	13	anbi2i 480	. . . . . . . 8 |- (({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z)) <-> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (y` z) e. z)))
15		fvex 3732	. . . . . . . . 9 |- (y` w) e. V
16	15, 8	fnopab2 3618	. . . . . . . 8 |- {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} Fn x
17	14, 16	mpbiran 728	. . . . . . 7 |- (({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z)) <-> A.z e. x (z =/= (/) -> (y` z) e. z))
18		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- x e. V
19	18	opabex2 3610	. . . . . . . 8 |- {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} e. V
20		fneq1 3582	. . . . . . . . 9 |- (f = {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} -> (f Fn x <-> {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} Fn x))
21		fveq1 3723	. . . . . . . . . . . 12 |- (f = {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} -> (f` z) = ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z))
22	21	eleq1d 1540	. . . . . . . . . . 11 |- (f = {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} -> ((f` z) e. z <-> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z))
23	22	imbi2d 612	. . . . . . . . . 10 |- (f = {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} -> ((z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> (z =/= (/) -> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z)))
24	23	ralbidv 1663	. . . . . . . . 9 |- (f = {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} -> (A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z)))
25	20, 24	anbi12d 628	. . . . . . . 8 |- (f = {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} -> ((f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)) <-> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z))))
26	19, 25	cla4ev 1869	. . . . . . 7 |- (({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z)) -> E.f(f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)))
27	17, 26	sylbir 201	. . . . . 6 |- (A.z e. x (z =/= (/) -> (y` z) e. z) -> E.f(f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)))
28	27	19.23aiv 1295	. . . . 5 |- (E.yA.z e. x (z =/= (/) -> (y` z) e. z) -> E.f(f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)))
29	6, 28	sylbi 199	. . . 4 |- (E.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z) -> E.f(f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)))
30		pm3.27 323	. . . . 5 |- ((f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)) -> A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
31	30	19.22i 1040	. . . 4 |- (E.f(f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)) -> E.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
32	29, 31	impbi 157	. . 3 |- (E.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> E.f(f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)))
33	32	albii 999	. 2 |- (A.xE.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> A.xE.f(f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)))
34	1, 33	bitr 173	1 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.f(f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   =/= wne 1585  A.wral 1645   (_ wss 2047  (/)c0 2280  {copab 2666  dom cdm 3170   Fn wfn 3177  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  aceq5 4740  ac5 4752

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain