Theorem aceq2 4731

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity.

Assertion

Ref	Expression
aceq2	|- (E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))

Distinct variable group:   x,y,z,w,v,u

Proof of Theorem aceq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 1649	. . . . 5 |- (A.t e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> A.t(t e. z -> E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)))
2		19.23v 1293	. . . . 5 |- (A.t(t e. z -> E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)) <-> (E.t t e. z -> E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)))
3	1, 2	bitr 173	. . . 4 |- (A.t e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> (E.t t e. z -> E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)))
4		pm4.2d 171	. . . . 5 |- (w = t -> (E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)))
5	4	cbvralv 1800	. . . 4 |- (A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> A.t e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u))
6		ne0 2288	. . . . 5 |- (z =/= (/) <-> E.t t e. z)
7		eleq2 1535	. . . . . . . . 9 |- (v = u -> (z e. v <-> z e. u))
8		eleq2 1535	. . . . . . . . 9 |- (v = u -> (w e. v <-> w e. u))
9	7, 8	anbi12d 628	. . . . . . . 8 |- (v = u -> ((z e. v /\ w e. v) <-> (z e. u /\ w e. u)))
10	9	cbvrexv 1801	. . . . . . 7 |- (E.v e. y (z e. v /\ w e. v) <-> E.u e. y (z e. u /\ w e. u))
11	10	reubii 1782	. . . . . 6 |- (E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v) <-> E!w e. z E.u e. y (z e. u /\ w e. u))
12		eleq1 1534	. . . . . . . . 9 |- (w = v -> (w e. u <-> v e. u))
13	12	anbi2d 616	. . . . . . . 8 |- (w = v -> ((z e. u /\ w e. u) <-> (z e. u /\ v e. u)))
14	13	rexbidv 1664	. . . . . . 7 |- (w = v -> (E.u e. y (z e. u /\ w e. u) <-> E.u e. y (z e. u /\ v e. u)))
15	14	cbvreuv 1802	. . . . . 6 |- (E!w e. z E.u e. y (z e. u /\ w e. u) <-> E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u))
16	11, 15	bitr 173	. . . . 5 |- (E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v) <-> E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u))
17	6, 16	imbi12i 188	. . . 4 |- ((z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) <-> (E.t t e. z -> E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)))
18	3, 5, 17	3bitr4 183	. . 3 |- (A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
19	18	ralbii 1667	. 2 |- (A.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> A.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
20	19	exbii 1051	1 |- (E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646  E!wreu 1647  (/)c0 2280

This theorem is referenced by:  aceq7 4743  ac3 4747  ac7 4748

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-v 1812  df-dif 2049  df-nul 2281

Copyright terms: Public domain