Theorem ac6s4 4761

Description: Generalization of the Axiom of Choice to proper classes. B is a collection B(x) of nonempty, possible proper classes.

Hypothesis

Ref	Expression
ac6s4.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
ac6s4	|- (A.x e. A B =/= (/) -> E.f(f Fn A /\ A.x e. A (f` x) e. B))

Distinct variable groups:   x,f,A   B,f

Proof of Theorem ac6s4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0 2288	. . 3 |- (B =/= (/) <-> E.y y e. B)
2	1	ralbii 1667	. 2 |- (A.x e. A B =/= (/) <-> A.x e. A E.y y e. B)
3		ac6s4.1	. . 3 |- A e. V
4		eleq1 1534	. . 3 |- (y = (f` x) -> (y e. B <-> (f` x) e. B))
5	3, 4	ac6s2 4758	. 2 |- (A.x e. A E.y y e. B -> E.f(f Fn A /\ A.x e. A (f` x) e. B))
6	2, 5	sylbi 199	1 |- (A.x e. A B =/= (/) -> E.f(f Fn A /\ A.x e. A (f` x) e. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  E.wex 980   =/= wne 1585  A.wral 1645  Vcvv 1811  (/)c0 2280   Fn wfn 3177  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  ac6s5 4762  ac9s 4764

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-r1 4643  df-rank 4644

Copyright terms: Public domain