Theorem abstri 6780

Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133.

Hypotheses

Ref	Expression
releabs.1	|- A e. CC
abstri.2	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
abstri	|- (abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B))

Proof of Theorem abstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		releabs.1	. . . . . . . 8 |- A e. CC
2		abstri.2	. . . . . . . . 9 |- B e. CC
3	2	cjcl 6650	. . . . . . . 8 |- (*` B) e. CC
4	1, 3	mulcl 5244	. . . . . . 7 |- (A x. (*` B)) e. CC
5	4	releabs 6779	. . . . . 6 |- (Re` (A x. (*` B))) <_ (abs` (A x. (*` B)))
6	1, 3	absmul 6733	. . . . . . 7 |- (abs` (A x. (*` B))) = ((abs` A) x. (abs` (*` B)))
7	2	abscj 6731	. . . . . . . 8 |- (abs` (*` B)) = (abs` B)
8	7	opreq2i 3911	. . . . . . 7 |- ((abs` A) x. (abs` (*` B))) = ((abs` A) x. (abs` B))
9	6, 8	eqtr 1471	. . . . . 6 |- (abs` (A x. (*` B))) = ((abs` A) x. (abs` B))
10	5, 9	breqtr 2606	. . . . 5 |- (Re` (A x. (*` B))) <_ ((abs` A) x. (abs` B))
11		2pos 5887	. . . . . 6 |- 0 < 2
12	4	recl 6648	. . . . . . 7 |- (Re` (A x. (*` B))) e. RR
13	1	abscl 6725	. . . . . . . 8 |- (abs` A) e. RR
14	2	abscl 6725	. . . . . . . 8 |- (abs` B) e. RR
15	13, 14	remulcl 5258	. . . . . . 7 |- ((abs` A) x. (abs` B)) e. RR
16		2re 5877	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
17	12, 15, 16	lemul2 5743	. . . . . 6 |- (0 < 2 -> ((Re` (A x. (*` B))) <_ ((abs` A) x. (abs` B)) <-> (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) <_ (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))))
18	11, 17	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((Re` (A x. (*` B))) <_ ((abs` A) x. (abs` B)) <-> (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) <_ (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))))
19	10, 18	mpbi 189	. . . 4 |- (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) <_ (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))
20	16, 12	remulcl 5258	. . . . 5 |- (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) e. RR
21	16, 15	remulcl 5258	. . . . 5 |- (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))) e. RR
22	13	resqcl 6505	. . . . . 6 |- ((abs` A)^2) e. RR
23	14	resqcl 6505	. . . . . 6 |- ((abs` B)^2) e. RR
24	22, 23	readdcl 5257	. . . . 5 |- (((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) e. RR
25	20, 21, 24	leadd2 5518	. . . 4 |- ((2 x. (Re` (A x. (*` B)))) <_ (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))) <-> ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. (Re` (A x. (*` B))))) <_ ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))))
26	19, 25	mpbi 189	. . 3 |- ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. (Re` (A x. (*` B))))) <_ ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))))
27	1, 2	sqabsadd 6736	. . 3 |- ((abs` (A + B))^2) = ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. (Re` (A x. (*` B)))))
28	13	recn 5237	. . . . 5 |- (abs` A) e. CC
29	14	recn 5237	. . . . 5 |- (abs` B) e. CC
30	28, 29	binom2 6526	. . . 4 |- (((abs` A) + (abs` B))^2) = ((((abs` A)^2) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))) + ((abs` B)^2))
31	28	sqcl 6496	. . . . 5 |- ((abs` A)^2) e. CC
32	21	recn 5237	. . . . 5 |- (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))) e. CC
33	29	sqcl 6496	. . . . 5 |- ((abs` B)^2) e. CC
34	31, 32, 33	add23 5264	. . . 4 |- ((((abs` A)^2) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))) + ((abs` B)^2)) = ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))))
35	30, 34	eqtr 1471	. . 3 |- (((abs` A) + (abs` B))^2) = ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))))
36	26, 27, 35	3brtr4 2611	. 2 |- ((abs` (A + B))^2) <_ (((abs` A) + (abs` B))^2)
37	1, 2	addcl 5243	. . . 4 |- (A + B) e. CC
38	37	absge0 6726	. . 3 |- 0 <_ (abs` (A + B))
39	1	absge0 6726	. . . 4 |- 0 <_ (abs` A)
40	2	absge0 6726	. . . 4 |- 0 <_ (abs` B)
41	13, 14	addge0 5524	. . . 4 |- ((0 <_ (abs` A) /\ 0 <_ (abs` B)) -> 0 <_ ((abs` A) + (abs` B)))
42	39, 40, 41	mp2an 694	. . 3 |- 0 <_ ((abs` A) + (abs` B))
43	37	abscl 6725	. . . 4 |- (abs` (A + B)) e. RR
44	13, 14	readdcl 5257	. . . 4 |- ((abs` A) + (abs` B)) e. RR
45	43, 44	le2sq 6507	. . 3 |- ((0 <_ (abs` (A + B)) /\ 0 <_ ((abs` A) + (abs` B))) -> ((abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B)) <-> ((abs` (A + B))^2) <_ (((abs` A) + (abs` B))^2)))
46	38, 42, 45	mp2an 694	. 2 |- ((abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B)) <-> ((abs` (A + B))^2) <_ (((abs` A) + (abs` B))^2))
47	36, 46	mpbir 190	1 |- (abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B))

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 1105   class class class wbr 2587  ` cfv 3145  (class class class)co 3902  CCcc 5155  0cc0 5157   + caddc 5160   x. cmul 5162   <_ cle 5218   < clt 5409  2c2 5859  ^cexp 6451  Recre 6629  *ccj 6631  abscabs 6632

This theorem is referenced by:  abstrit 6786

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-sup 4500  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169  df-lt 5170  df-sub 5279  df-neg 5281  df-pnf 5410  df-mnf 5411  df-xr 5412  df-ltxr 5413  df-le 5414  df-div 5623  df-n 5824  df-2 5868  df-n0 5998  df-z 6034  df-seq1 6196  df-exp 6452  df-sqr 6551  df-re 6633  df-im 6634  df-cj 6635  df-abs 6636

Copyright terms: Public domain