Theorem absltt 6817

Description: Absolute value and 'less than' relation.

Assertion

Ref	Expression
absltt	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((abs` A) < B <-> (-uB < A /\ A < B)))

Proof of Theorem absltt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3709	. . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (abs` A) = (abs` if(A e. RR, A, 0)))
2	1	breq1d 2619	. . 3 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((abs` A) < B <-> (abs` if(A e. RR, A, 0)) < B))
3		breq2 2613	. . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (-uB < A <-> -uB < if(A e. RR, A, 0)))
4		breq1 2612	. . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (A < B <-> if(A e. RR, A, 0) < B))
5	3, 4	anbi12d 626	. . 3 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((-uB < A /\ A < B) <-> (-uB < if(A e. RR, A, 0) /\ if(A e. RR, A, 0) < B)))
6	2, 5	bibi12d 627	. 2 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (((abs` A) < B <-> (-uB < A /\ A < B)) <-> ((abs` if(A e. RR, A, 0)) < B <-> (-uB < if(A e. RR, A, 0) /\ if(A e. RR, A, 0) < B))))
7		breq2 2613	. . 3 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> ((abs` if(A e. RR, A, 0)) < B <-> (abs` if(A e. RR, A, 0)) < if(B e. RR, B, 0)))
8		negeq 5331	. . . . 5 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> -uB = -uif(B e. RR, B, 0))
9	8	breq1d 2619	. . . 4 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (-uB < if(A e. RR, A, 0) <-> -uif(B e. RR, B, 0) < if(A e. RR, A, 0)))
10		breq2 2613	. . . 4 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (if(A e. RR, A, 0) < B <-> if(A e. RR, A, 0) < if(B e. RR, B, 0)))
11	9, 10	anbi12d 626	. . 3 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> ((-uB < if(A e. RR, A, 0) /\ if(A e. RR, A, 0) < B) <-> (-uif(B e. RR, B, 0) < if(A e. RR, A, 0) /\ if(A e. RR, A, 0) < if(B e. RR, B, 0))))
12	7, 11	bibi12d 627	. 2 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (((abs` if(A e. RR, A, 0)) < B <-> (-uB < if(A e. RR, A, 0) /\ if(A e. RR, A, 0) < B)) <-> ((abs` if(A e. RR, A, 0)) < if(B e. RR, B, 0) <-> (-uif(B e. RR, B, 0) < if(A e. RR, A, 0) /\ if(A e. RR, A, 0) < if(B e. RR, B, 0)))))
13		0re 5412	. . . 4 |- 0 e. RR
14	13	elimel 2384	. . 3 |- if(A e. RR, A, 0) e. RR
15	13	elimel 2384	. . 3 |- if(B e. RR, B, 0) e. RR
16	14, 15	abslt 6810	. 2 |- ((abs` if(A e. RR, A, 0)) < if(B e. RR, B, 0) <-> (-uif(B e. RR, B, 0) < if(A e. RR, A, 0) /\ if(A e. RR, A, 0) < if(B e. RR, B, 0)))
17	6, 12, 16	dedth2h 2377	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((abs` A) < B <-> (-uB < A /\ A < B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  ifcif 2351   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  RRcr 5205  0cc0 5206  -ucneg 5265   < clt 5458  abscabs 6681

This theorem is referenced by:  abssubne0t 6820  absdifltt 6821  caucvglem2 7094  caucvglem5 7097  caucvglem6 7098  sin01bndlem3 7411  cos01bndlem3 7413  efifolem5 8641

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685

Copyright terms: Public domain