Theorem absefm1le 7352

Description: The absolute value of the exponential function minus 1 is less than or equal to the exponential function minus 1 of the absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
absefm1le.1	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
absefm1le	|- (abs` ((exp` A) - 1)) <_ ((exp` (abs` A)) - 1)

Proof of Theorem absefm1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 3968	. 2 |- ((exp` A) - 1) e. V
2		oprex 3968	. 2 |- ((exp` (abs` A)) - 1) e. V
3		nn0ex 6052	. . 3 |- NN0 e. V
4	3	opabex2 3596	. 2 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))} e. V
5	3	opabex2 3596	. 2 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))} e. V
6		1z 6106	. 2 |- 1 e. ZZ
7		elnnuz 6372	. . . . 5 |- (k e. NN <-> k e. (ZZ>` 1))
8		nnnn0t 6053	. . . . 5 |- (k e. NN -> k e. NN0)
9	7, 8	sylbir 201	. . . 4 |- (k e. (ZZ>` 1) -> k e. NN0)
10		eqid 1468	. . . . . 6 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
11	10	eftval 7258	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) = ((A^k) / (!` k)))
12		absefm1le.1	. . . . . 6 |- A e. CC
13		eftclt 7245	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> ((A^k) / (!` k)) e. CC)
14	12, 13	mpan 693	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> ((A^k) / (!` k)) e. CC)
15	11, 14	eqeltrd 1540	. . . 4 |- (k e. NN0 -> ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) e. CC)
16	9, 15	syl 10	. . 3 |- (k e. (ZZ>` 1) -> ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) e. CC)
17		absdivt 6795	. . . . . . 7 |- (((A^k) e. CC /\ (!` k) e. CC /\ (!` k) =/= 0) -> (abs` ((A^k) / (!` k))) = ((abs` (A^k)) / (abs` (!` k))))
18		expclt 6513	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> (A^k) e. CC)
19	12, 18	mpan 693	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (A^k) e. CC)
20		facclt 6877	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. NN)
21		nnret 5877	. . . . . . . 8 |- ((!` k) e. NN -> (!` k) e. RR)
22		recnt 5285	. . . . . . . 8 |- ((!` k) e. RR -> (!` k) e. CC)
23	20, 21, 22	3syl 20	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. CC)
24		facne0t 6878	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (!` k) =/= 0)
25	17, 19, 23, 24	syl3anc 856	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (abs` ((A^k) / (!` k))) = ((abs` (A^k)) / (abs` (!` k))))
26		absexpt 6803	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> (abs` (A^k)) = ((abs` A)^k))
27	12, 26	mpan 693	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (abs` (A^k)) = ((abs` A)^k))
28		absidt 6797	. . . . . . . 8 |- (((!` k) e. RR /\ 0 <_ (!` k)) -> (abs` (!` k)) = (!` k))
29	20, 21	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. RR)
30		0re 5412	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
31		ltlet 5493	. . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ (!` k) e. RR) -> (0 < (!` k) -> 0 <_ (!` k)))
32	30, 31	mpan 693	. . . . . . . . 9 |- ((!` k) e. RR -> (0 < (!` k) -> 0 <_ (!` k)))
33		nngt0t 5894	. . . . . . . . . 10 |- ((!` k) e. NN -> 0 < (!` k))
34	20, 33	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> 0 < (!` k))
35	32, 29, 34	sylc 68	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> 0 <_ (!` k))
36	28, 29, 35	sylanc 471	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (abs` (!` k)) = (!` k))
37	27, 36	opreq12d 3963	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> ((abs` (A^k)) / (abs` (!` k))) = (((abs` A)^k) / (!` k)))
38	25, 37	eqtrd 1499	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (abs` ((A^k) / (!` k))) = (((abs` A)^k) / (!` k)))
39	11	fveq2d 3713	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (abs` ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k)) = (abs` ((A^k) / (!` k))))
40		eqid 1468	. . . . . 6 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}
41	40	eftval 7258	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}` k) = (((abs` A)^k) / (!` k)))
42	38, 39, 41	3eqtr4rd 1510	. . . 4 |- (k e. NN0 -> ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}` k) = (abs` ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k)))
43	9, 42	syl 10	. . 3 |- (k e. (ZZ>` 1) -> ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}` k) = (abs` ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k)))
44	16, 43	jca 288	. 2 |- (k e. (ZZ>` 1) -> (({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) e. CC /\ ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}` k) = (abs` ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k))))
45	10, 12	efm1lim 7351	. 2 |- (<.1, + >. seq {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) ~~> ((exp` A) - 1)
46	12	abscl 6774	. . . 4 |- (abs` A) e. RR
47	46	recn 5286	. . 3 |- (abs` A) e. CC
48	40, 47	efm1lim 7351	. 2 |- (<.1, + >. seq {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}) ~~> ((exp` (abs` A)) - 1)
49	1, 2, 4, 5, 6, 44, 45, 48	iserzabs 7115	1 |- (abs` ((exp` A) - 1)) <_ ((exp` (abs` A)) - 1)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577   class class class wbr 2609  {copab 2656  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   - cmin 5264   / cdiv 5266   <_ cle 5267  NNcn 5268  NN0cn0 5269   < clt 5458  ZZ>cuz 6349  ^cexp 6500  abscabs 6681  !cfa 6868  expce 7235

This theorem is referenced by:  efcnlem2 7360

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-fac 6869  df-clim 6913  df-sum 6918  df-ef 7240

Copyright terms: Public domain