Theorem absef01tllem 7387

Description: Lemma for absef01tlub 7388.

Hypotheses

Ref	Expression
ef1tllem.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
absef01tllem.2	|- G = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}
absef01tllem.3	|- A e. CC
absef01tllem.4	|- (abs` A) e. (0(,]1)
absef01tllem.5	|- M e. NN

Assertion

Ref	Expression
absef01tllem	|- (abs` sum_k e. (ZZ>` M)(F` k)) <_ (((abs` A)^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M)))

Distinct variable groups:   A,j,k,y   k,F   k,G   j,M,k,y

Proof of Theorem absef01tllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumex 6981	. . 3 |- sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) e. V
2		sumex 6981	. . 3 |- sum_k e. (ZZ>` M)(G` k) e. V
3		nn0ex 6105	. . . 4 |- NN0 e. V
4		ef1tllem.1	. . . 4 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
5	3, 4	fopabex2 3612	. . 3 |- F e. V
6		absef01tllem.2	. . . 4 |- G = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}
7	3, 6	fopabex2 3612	. . 3 |- G e. V
8		absef01tllem.5	. . . 4 |- M e. NN
9		nnzt 6153	. . . 4 |- (M e. NN -> M e. ZZ)
10	8, 9	ax-mp 7	. . 3 |- M e. ZZ
11	8	nnnn0 6107	. . . . . . 7 |- M e. NN0
12		elnn0uz 6441	. . . . . . 7 |- (M e. NN0 <-> M e. (ZZ>` 0))
13	11, 12	mpbi 189	. . . . . 6 |- M e. (ZZ>` 0)
14		uztrn 6428	. . . . . 6 |- ((k e. (ZZ>` M) /\ M e. (ZZ>` 0)) -> k e. (ZZ>` 0))
15	13, 14	mpan2 696	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. (ZZ>` 0))
16		elnn0uz 6441	. . . . 5 |- (k e. NN0 <-> k e. (ZZ>` 0))
17	15, 16	sylibr 200	. . . 4 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. NN0)
18	4	eftval 7316	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((A^k) / (!` k)))
19		absef01tllem.3	. . . . . . 7 |- A e. CC
20		eftclt 7303	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> ((A^k) / (!` k)) e. CC)
21	19, 20	mpan 695	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> ((A^k) / (!` k)) e. CC)
22	18, 21	eqeltrd 1548	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (F` k) e. CC)
23	19	eftabs 7375	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (abs` ((A^k) / (!` k))) = (((abs` A)^k) / (!` k)))
24	18	fveq2d 3728	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (abs` (F` k)) = (abs` ((A^k) / (!` k))))
25	6	eftval 7316	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (G` k) = (((abs` A)^k) / (!` k)))
26	23, 24, 25	3eqtr4rd 1518	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (G` k) = (abs` (F` k)))
27	22, 26	jca 288	. . . 4 |- (k e. NN0 -> ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (abs` (F` k))))
28	17, 27	syl 10	. . 3 |- (k e. (ZZ>` M) -> ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (abs` (F` k))))
29	4	eftlext 7378	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ M e. NN) -> E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x)
30	19, 8, 29	mp2an 697	. . . 4 |- E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x
31	5	isumclim2t 7199	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x) -> (<.M, + >. seq F) ~~> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k))
32	10, 30, 31	mp2an 697	. . 3 |- (<.M, + >. seq F) ~~> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k)
33	19	abscl 6839	. . . . . 6 |- (abs` A) e. RR
34	33	recn 5314	. . . . 5 |- (abs` A) e. CC
35	6	eftlext 7378	. . . . 5 |- (((abs` A) e. CC /\ M e. NN) -> E.x(<.M, + >. seq G) ~~> x)
36	34, 8, 35	mp2an 697	. . . 4 |- E.x(<.M, + >. seq G) ~~> x
37	7	isumclim2t 7199	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ E.x(<.M, + >. seq G) ~~> x) -> (<.M, + >. seq G) ~~> sum_k e. (ZZ>` M)(G` k))
38	10, 36, 37	mp2an 697	. . 3 |- (<.M, + >. seq G) ~~> sum_k e. (ZZ>` M)(G` k)
39	1, 2, 5, 7, 10, 28, 32, 38	iserzabs 7179	. 2 |- (abs` sum_k e. (ZZ>` M)(F` k)) <_ sum_k e. (ZZ>` M)(G` k)
40		absef01tllem.4	. . 3 |- (abs` A) e. (0(,]1)
41	6	ef01tlub 7386	. . 3 |- (((abs` A) e. (0(,]1) /\ M e. NN) -> sum_k e. (ZZ>` M)(G` k) <_ (((abs` A)^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M))))
42	40, 8, 41	mp2an 697	. 2 |- sum_k e. (ZZ>` M)(G` k) <_ (((abs` A)^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M)))
43	4	eftlclt 7379	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ M e. NN) -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC)
44	19, 8, 43	mp2an 697	. . . 4 |- sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC
45	44	abscl 6839	. . 3 |- (abs` sum_k e. (ZZ>` M)(F` k)) e. RR
46	6	reeftlclt 7380	. . . 4 |- (((abs` A) e. RR /\ M e. NN) -> sum_k e. (ZZ>` M)(G` k) e. RR)
47	33, 8, 46	mp2an 697	. . 3 |- sum_k e. (ZZ>` M)(G` k) e. RR
48		reexpclt 6580	. . . . 5 |- (((abs` A) e. RR /\ M e. NN0) -> ((abs` A)^M) e. RR)
49	33, 11, 48	mp2an 697	. . . 4 |- ((abs` A)^M) e. RR
50		eftlubclt 7376	. . . . 5 |- (M e. NN -> ((M + 1) / ((!` M) x. M)) e. RR)
51	8, 50	ax-mp 7	. . . 4 |- ((M + 1) / ((!` M) x. M)) e. RR
52	49, 51	remulcl 5335	. . 3 |- (((abs` A)^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M))) e. RR
53	45, 47, 52	letr 5588	. 2 |- (((abs` sum_k e. (ZZ>` M)(F` k)) <_ sum_k e. (ZZ>` M)(G` k) /\ sum_k e. (ZZ>` M)(G` k) <_ (((abs` A)^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M)))) -> (abs` sum_k e. (ZZ>` M)(F` k)) <_ (((abs` A)^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M))))
54	39, 42, 53	mp2an 697	1 |- (abs` sum_k e. (ZZ>` M)(F` k)) <_ (((abs` A)^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M)))

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  <.cop 2411   class class class wbr 2619  {copab 2666  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   / cdiv 5294   <_ cle 5295  NNcn 5296  NN0cn0 5297  ZZcz 5298  (,]cioc 6358  ZZ>cuz 6417   seq cseqz 6531  ^cexp 6568  abscabs 6750  !cfa 6931   ~~> cli 6974  sum_csu 6979

This theorem is referenced by:  absef01tlub 7388

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioc 6362  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298

Copyright terms: Public domain