Theorem absclt 6833

Description: Real closure of absolute value.

Assertion

Ref	Expression
absclt	|- (A e. CC -> (abs` A) e. RR)

Proof of Theorem absclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absvalt 6762	. 2 |- (A e. CC -> (abs` A) = (sqr` (A x. (*` A))))
2		sqrclt 6710	. . 3 |- (((A x. (*` A)) e. RR /\ 0 <_ (A x. (*` A))) -> (sqr` (A x. (*` A))) e. RR)
3		cjmulrclt 6801	. . 3 |- (A e. CC -> (A x. (*` A)) e. RR)
4		cjmulge0t 6803	. . 3 |- (A e. CC -> 0 <_ (A x. (*` A)))
5	2, 3, 4	sylanc 471	. 2 |- (A e. CC -> (sqr` (A x. (*` A))) e. RR)
6	1, 5	eqeltrd 1548	1 |- (A e. CC -> (abs` A) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 958   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   x. cmul 5239   <_ cle 5295  sqrcsqr 6669  *ccj 6749  abscabs 6750

This theorem is referenced by:  abscl 6839  absrpclt 6855  absreimt 6857  absdivz 6859  leabst 6864  absexpt 6868  abssubne0t 6882  lenegsqt 6885  releabst 6886  absidmt 6892  abs2dift 6902  abs2difabst 6903  absf 6906  seq1bnd 6910  seq1ublem 6911  caubnd 6926  caure 6927  cauim 6928  ser1absdiflem 6929  fsumabs 7043  fsumabs2mul 7044  clm4le 7081  2climnn 7102  2climnn0 7103  climrecl 7110  climge0 7112  climabs0 7113  climaddlem3 7116  climmullem1 7120  climmullem3 7122  climmullem4 7123  climmullem5 7124  climsqueeze 7140  climsqueeze2 7141  climabslem 7148  climabs 7149  climcj 7150  climubi 7153  climcau 7156  caucvg 7163  serzf0 7169  ser1f0 7170  iserzabslem 7178  cvgcmp3c 7186  reccnv 7218  expcnv 7233  georeclim 7240  geoisumr 7243  cvgratlem3ALT 7249  cvgratlem3 7252  cvgratlem4 7253  cvgratlem5 7254  abscncflem 7274  cjcncf 7278  mulc1cncf 7279  efcltlem1 7304  efaddlem10 7347  efaddlem13 7350  efaddlem17 7354  efaddlem19 7356  abspef01tlub 7395  efcn 7423  sin01bndlem2 7468  cos01bndlem2 7470  abseft 7483  nmcnilem 8337  sm1cnilem 8347  nmoub3i 8436  isblo3i 8461  cnph 8478  minveclem24 8568  minveclem25 8569  htthlem6 8625  htthlem8 8627  efifolem5 8726  efifolem7 8728  eff1i 8744  effoi 8745  bcs2t 9049  occllem6 9178  projlem25 9210  projlem26 9211  nmfnsetret 9804  nmfnleub2t 9850  nmfnge0t 9851  nmophm 9961  bdophm 9962  nmbdfnlb 9978  nmcfnexlem3 9982  nmcfnexlem6 9985  nmcfnlb 9987  lnfncon 9990  nlelch 9994  cnlnadjlem2 10001  cnlnadjlem7 10006  nmopcoadj 10034  leopnmidt 10071  msr3 10625  msr4 10626  mslb1 10629  2wsms 10630

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754

Copyright terms: Public domain