Theorem abs00 6777

Description: The absolute value of a number is zero iff the number is zero. Proposition 10-3.7(c) of [Gleason] p. 133.

Hypothesis

Ref	Expression
absvalsq.1	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
abs00	|- ((abs` A) = 0 <-> A = 0)

Proof of Theorem abs00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absvalsq.1	. . . 4 |- A e. CC
2	1	absval2 6776	. . 3 |- (abs` A) = (sqr` (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2)))
3	2	eqeq1i 1474	. 2 |- ((abs` A) = 0 <-> (sqr` (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2))) = 0)
4	1	recl 6697	. . . . 5 |- (Re` A) e. RR
5	4	resqcl 6554	. . . 4 |- ((Re` A)^2) e. RR
6	1	imcl 6698	. . . . 5 |- (Im` A) e. RR
7	6	resqcl 6554	. . . 4 |- ((Im` A)^2) e. RR
8	5, 7	readdcl 5306	. . 3 |- (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2)) e. RR
9	4	sqge0 6559	. . . 4 |- 0 <_ ((Re` A)^2)
10	6	sqge0 6559	. . . 4 |- 0 <_ ((Im` A)^2)
11	5, 7	addge0 5573	. . . 4 |- ((0 <_ ((Re` A)^2) /\ 0 <_ ((Im` A)^2)) -> 0 <_ (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2)))
12	9, 10, 11	mp2an 695	. . 3 |- 0 <_ (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2))
13		sqr00t 6644	. . 3 |- (((((Re` A)^2) + ((Im` A)^2)) e. RR /\ 0 <_ (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2))) -> ((sqr` (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2))) = 0 <-> (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2)) = 0))
14	8, 12, 13	mp2an 695	. 2 |- ((sqr` (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2))) = 0 <-> (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2)) = 0)
15	5, 7	add20 5576	. . . 4 |- ((0 <_ ((Re` A)^2) /\ 0 <_ ((Im` A)^2)) -> ((((Re` A)^2) + ((Im` A)^2)) = 0 <-> (((Re` A)^2) = 0 /\ ((Im` A)^2) = 0)))
16	9, 10, 15	mp2an 695	. . 3 |- ((((Re` A)^2) + ((Im` A)^2)) = 0 <-> (((Re` A)^2) = 0 /\ ((Im` A)^2) = 0))
17	4	recn 5286	. . . . 5 |- (Re` A) e. CC
18	17	sq00 6546	. . . 4 |- (((Re` A)^2) = 0 <-> (Re` A) = 0)
19	6	recn 5286	. . . . 5 |- (Im` A) e. CC
20	19	sq00 6546	. . . 4 |- (((Im` A)^2) = 0 <-> (Im` A) = 0)
21	18, 20	anbi12i 481	. . 3 |- ((((Re` A)^2) = 0 /\ ((Im` A)^2) = 0) <-> ((Re` A) = 0 /\ (Im` A) = 0))
22		opreq1 3953	. . . . . . 7 |- ((Re` A) = 0 -> ((Re` A) + ((Im` A) x. i)) = (0 + ((Im` A) x. i)))
23		opreq1 3953	. . . . . . . 8 |- ((Im` A) = 0 -> ((Im` A) x. i) = (0 x. i))
24	23	opreq2d 3961	. . . . . . 7 |- ((Im` A) = 0 -> (0 + ((Im` A) x. i)) = (0 + (0 x. i)))
25	22, 24	sylan9eq 1519	. . . . . 6 |- (((Re` A) = 0 /\ (Im` A) = 0) -> ((Re` A) + ((Im` A) x. i)) = (0 + (0 x. i)))
26		0cn 5300	. . . . . . . . 9 |- 0 e. CC
27		axicn 5242	. . . . . . . . 9 |- i e. CC
28	26, 27	mulcl 5293	. . . . . . . 8 |- (0 x. i) e. CC
29	28	addid2 5303	. . . . . . 7 |- (0 + (0 x. i)) = (0 x. i)
30	27	mul02 5404	. . . . . . 7 |- (0 x. i) = 0
31	29, 30	eqtr 1487	. . . . . 6 |- (0 + (0 x. i)) = 0
32	25, 31	syl6eq 1515	. . . . 5 |- (((Re` A) = 0 /\ (Im` A) = 0) -> ((Re` A) + ((Im` A) x. i)) = 0)
33	1	replimOLD 6701	. . . . 5 |- A = ((Re` A) + ((Im` A) x. i))
34	32, 33	syl5eq 1511	. . . 4 |- (((Re` A) = 0 /\ (Im` A) = 0) -> A = 0)
35		fveq2 3709	. . . . . 6 |- (A = 0 -> (Re` A) = (Re` 0))
36		re0 6755	. . . . . 6 |- (Re` 0) = 0
37	35, 36	syl6eq 1515	. . . . 5 |- (A = 0 -> (Re` A) = 0)
38		fveq2 3709	. . . . . 6 |- (A = 0 -> (Im` A) = (Im` 0))
39		im0 6756	. . . . . 6 |- (Im` 0) = 0
40	38, 39	syl6eq 1515	. . . . 5 |- (A = 0 -> (Im` A) = 0)
41	37, 40	jca 288	. . . 4 |- (A = 0 -> ((Re` A) = 0 /\ (Im` A) = 0))
42	34, 41	impbi 157	. . 3 |- (((Re` A) = 0 /\ (Im` A) = 0) <-> A = 0)
43	16, 21, 42	3bitr 177	. 2 |- ((((Re` A)^2) + ((Im` A)^2)) = 0 <-> A = 0)
44	3, 14, 43	3bitr 177	1 |- ((abs` A) = 0 <-> A = 0)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211   <_ cle 5267  2c2 5908  ^cexp 6500  sqrcsqr 6599  Recre 6678  Imcim 6679  abscabs 6681

This theorem is referenced by:  absgt0 6778  abs00t 6788  absdivz 6794  abs0 6814  abs1m 6841  abslem2i 6845  bcsALT 8967  pjthlem11 9144

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685

Copyright terms: Public domain