Theorem abrexexlem2 3859

Description: Lemma for abrexex 3860. Almost there, but still requires that B be a set.

Hypotheses

Ref	Expression
abrexexlem2.1	|- A e. V
abrexexlem2.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
abrexexlem2	|- {y | E.x e. A y = B} e. V

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B

Proof of Theorem abrexexlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1813	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
2	1	biantrur 725	. . . . . . . . . 10 |- (y = B <-> (x e. V /\ y = B))
3	2	opabbii 2671	. . . . . . . . 9 |- {<.x, y>. | y = B} = {<.x, y>. | (x e. V /\ y = B)}
4	3	fveq1i 3725	. . . . . . . 8 |- ({<.x, y>. | y = B}` x) = ({<.x, y>. | (x e. V /\ y = B)}` x)
5		abrexexlem2.2	. . . . . . . . 9 |- B e. V
6		fvopab2 3791	. . . . . . . . 9 |- ((x e. V /\ B e. V) -> ({<.x, y>. | (x e. V /\ y = B)}` x) = B)
7	1, 5, 6	mp2an 697	. . . . . . . 8 |- ({<.x, y>. | (x e. V /\ y = B)}` x) = B
8	4, 7	eqtr 1495	. . . . . . 7 |- ({<.x, y>. | y = B}` x) = B
9	8	eqeq2i 1485	. . . . . 6 |- (y = ({<.x, y>. | y = B}` x) <-> y = B)
10	9	rexbii 1668	. . . . 5 |- (E.x e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` x) <-> E.x e. A y = B)
11		ax-17 971	. . . . . 6 |- (y = ({<.x, y>. | y = B}` x) -> A.z y = ({<.x, y>. | y = B}` x))
12		ax-17 971	. . . . . . 7 |- (w e. y -> A.x w e. y)
13		hbopab1 2813	. . . . . . . 8 |- (w e. {<.x, y>. | y = B} -> A.x w e. {<.x, y>. | y = B})
14		ax-17 971	. . . . . . . 8 |- (w e. z -> A.x w e. z)
15	13, 14	hbfv 3729	. . . . . . 7 |- (w e. ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.x w e. ({<.x, y>. | y = B}` z))
16	12, 15	hbeq 1565	. . . . . 6 |- (y = ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.x y = ({<.x, y>. | y = B}` z))
17		fveq2 3724	. . . . . . 7 |- (x = z -> ({<.x, y>. | y = B}` x) = ({<.x, y>. | y = B}` z))
18	17	eqeq2d 1486	. . . . . 6 |- (x = z -> (y = ({<.x, y>. | y = B}` x) <-> y = ({<.x, y>. | y = B}` z)))
19	11, 16, 18	cbvrex 1799	. . . . 5 |- (E.x e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` x) <-> E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z))
20	10, 19	bitr3 175	. . . 4 |- (E.x e. A y = B <-> E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z))
21	20	abbii 1575	. . 3 |- {y | E.x e. A y = B} = {y | E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z)}
22		ax-17 971	. . . 4 |- (E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.wE.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z))
23		ax-17 971	. . . . 5 |- (z e. A -> A.y z e. A)
24		ax-17 971	. . . . . 6 |- (x e. w -> A.y x e. w)
25		hbopab2 2814	. . . . . . 7 |- (w e. {<.x, y>. | y = B} -> A.y w e. {<.x, y>. | y = B})
26		ax-17 971	. . . . . . 7 |- (w e. z -> A.y w e. z)
27	25, 26	hbfv 3729	. . . . . 6 |- (w e. ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.y w e. ({<.x, y>. | y = B}` z))
28	24, 27	hbeq 1565	. . . . 5 |- (w = ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.y w = ({<.x, y>. | y = B}` z))
29	23, 28	hbrex 1688	. . . 4 |- (E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.yE.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z))
30		eqeq1 1481	. . . . 5 |- (y = w -> (y = ({<.x, y>. | y = B}` z) <-> w = ({<.x, y>. | y = B}` z)))
31	30	rexbidv 1664	. . . 4 |- (y = w -> (E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z) <-> E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z)))
32	22, 29, 31	cbvab 1908	. . 3 |- {y | E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z)} = {w | E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z)}
33	21, 32	eqtr 1495	. 2 |- {y | E.x e. A y = B} = {w | E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z)}
34		abrexexlem2.1	. . 3 |- A e. V
35	34	abrexexlem1 3858	. 2 |- {w | E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z)} e. V
36	33, 35	eqeltr 1544	1 |- {y | E.x e. A y = B} e. V

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  E.wrex 1646  Vcvv 1811  {copab 2666  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  abrexex 3860

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198

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