Theorem abn0 2290

Description: Nonempty class abstraction.

Assertion

Ref	Expression
abn0	|- ({x | ph} =/= (/) <-> E.xph)

Proof of Theorem abn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0 2288	. 2 |- ({x | ph} =/= (/) <-> E.y y e. {x | ph})
2		hbab1 1466	. . 3 |- (y e. {x | ph} -> A.x y e. {x | ph})
3		ax-17 971	. . 3 |- (x e. {x | ph} -> A.y x e. {x | ph})
4		eleq1 1534	. . 3 |- (y = x -> (y e. {x | ph} <-> x e. {x | ph}))
5	2, 3, 4	cbvex 1166	. 2 |- (E.y y e. {x | ph} <-> E.x x e. {x | ph})
6		abid 1465	. . 3 |- (x e. {x | ph} <-> ph)
7	6	exbii 1051	. 2 |- (E.x x e. {x | ph} <-> E.xph)
8	1, 5, 7	3bitr 177	1 |- ({x | ph} =/= (/) <-> E.xph)

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463   =/= wne 1585  (/)c0 2280

This theorem is referenced by:  rabn0 2292  intexab 2731  onminex 3020  relimasn 3425  fvprc 3721  fvopabn 3786  iinon 3910  oarec 4196  mapprc 4326  map0b 4343  map0 4344  pw2en 4446  scott0 4717  scott0s 4719  cp 4722  karden 4726  aceq3lem 4732  dffsum 6998  dfisum 7191  isumnul 7203  fine 10449  fineOLD 10450

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-nul 2281

Copyright terms: Public domain