Theorem 8th4div3 5978

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	|- ((1 / 8) x. (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 5241	. . . 4 |- 1 e. CC
2		8re 5933	. . . . 5 |- 8 e. RR
3	2	recn 5286	. . . 4 |- 8 e. CC
4		4re 5929	. . . . 5 |- 4 e. RR
5	4	recn 5286	. . . 4 |- 4 e. CC
6		3re 5928	. . . . 5 |- 3 e. RR
7	6	recn 5286	. . . 4 |- 3 e. CC
8		8pos 5943	. . . . 5 |- 0 < 8
9	2, 8	gt0ne0i 5591	. . . 4 |- 8 =/= 0
10		3pos 5938	. . . . 5 |- 0 < 3
11	6, 10	gt0ne0i 5591	. . . 4 |- 3 =/= 0
12	1, 3, 5, 7, 9, 11	divmuldiv 5742	. . 3 |- ((1 / 8) x. (4 / 3)) = ((1 x. 4) / (8 x. 3))
13	1, 5	mulcom 5295	. . . 4 |- (1 x. 4) = (4 x. 1)
14	13	opreq1i 3956	. . 3 |- ((1 x. 4) / (8 x. 3)) = ((4 x. 1) / (8 x. 3))
15		2cn 5927	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
16	5, 15, 7	mul23 5396	. . . . . 6 |- ((4 x. 2) x. 3) = ((4 x. 3) x. 2)
17		4t2e8 5972	. . . . . . 7 |- (4 x. 2) = 8
18	17	opreq1i 3956	. . . . . 6 |- ((4 x. 2) x. 3) = (8 x. 3)
19	5, 7, 15	mulass 5297	. . . . . 6 |- ((4 x. 3) x. 2) = (4 x. (3 x. 2))
20	16, 18, 19	3eqtr3 1495	. . . . 5 |- (8 x. 3) = (4 x. (3 x. 2))
21		3t2e6 5970	. . . . . 6 |- (3 x. 2) = 6
22	21	opreq2i 3957	. . . . 5 |- (4 x. (3 x. 2)) = (4 x. 6)
23	20, 22	eqtr 1487	. . . 4 |- (8 x. 3) = (4 x. 6)
24	23	opreq2i 3957	. . 3 |- ((4 x. 1) / (8 x. 3)) = ((4 x. 1) / (4 x. 6))
25	12, 14, 24	3eqtr 1491	. 2 |- ((1 / 8) x. (4 / 3)) = ((4 x. 1) / (4 x. 6))
26		4pos 5939	. . . 4 |- 0 < 4
27	4, 26	gt0ne0i 5591	. . 3 |- 4 =/= 0
28		6re 5931	. . . . 5 |- 6 e. RR
29	28	recn 5286	. . . 4 |- 6 e. CC
30		6pos 5941	. . . . 5 |- 0 < 6
31	28, 30	gt0ne0i 5591	. . . 4 |- 6 =/= 0
32		divcan5t 5737	. . . . 5 |- ((1 e. CC /\ (6 e. CC /\ 6 =/= 0) /\ (4 e. CC /\ 4 =/= 0)) -> ((4 x. 1) / (4 x. 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 900	. . . 4 |- (((6 e. CC /\ 6 =/= 0) /\ (4 e. CC /\ 4 =/= 0)) -> ((4 x. 1) / (4 x. 6)) = (1 / 6))
34	29, 31, 33	mpanl12 706	. . 3 |- ((4 e. CC /\ 4 =/= 0) -> ((4 x. 1) / (4 x. 6)) = (1 / 6))
35	5, 27, 34	mp2an 695	. 2 |- ((4 x. 1) / (4 x. 6)) = (1 / 6)
36	25, 35	eqtr 1487	1 |- ((1 / 8) x. (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   x. cmul 5211   / cdiv 5266  2c2 5908  3c3 5909  4c4 5910  6c6 5912  8c8 5914

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-5 5920  df-6 5921  df-7 5922  df-8 5923

Copyright terms: Public domain