Theorem 5oalem3 9601

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA.

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem3.1	|- A e. SH
5oalem3.2	|- B e. SH
5oalem3.3	|- C e. SH
5oalem3.4	|- D e. SH
5oalem3.5	|- F e. SH
5oalem3.6	|- G e. SH

Assertion

Ref	Expression
5oalem3	|- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +h y) = (f +h g) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> (x -h z) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))))

Proof of Theorem 5oalem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5oalem3.1	. . . . . . 7 |- A e. SH
2		5oalem3.2	. . . . . . 7 |- B e. SH
3		5oalem3.5	. . . . . . 7 |- F e. SH
4		5oalem3.6	. . . . . . 7 |- G e. SH
5	1, 2, 3, 4	5oalem2 9600	. . . . . 6 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ (x +h y) = (f +h g)) -> (x -h f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)))
6		5oalem3.3	. . . . . . 7 |- C e. SH
7		5oalem3.4	. . . . . . 7 |- D e. SH
8	6, 7, 3, 4	5oalem2 9600	. . . . . 6 |- ((((z e. C /\ w e. D) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ (z +h w) = (f +h g)) -> (z -h f) e. ((C +H F) i^i (D +H G)))
9	5, 8	anim12i 333	. . . . 5 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ (x +h y) = (f +h g)) /\ (((z e. C /\ w e. D) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> ((x -h f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)) /\ (z -h f) e. ((C +H F) i^i (D +H G))))
10	9	an4s 508	. . . 4 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((z e. C /\ w e. D) /\ (f e. F /\ g e. G))) /\ ((x +h y) = (f +h g) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> ((x -h f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)) /\ (z -h f) e. ((C +H F) i^i (D +H G))))
11		anandir 511	. . . 4 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) <-> (((x e. A /\ y e. B) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((z e. C /\ w e. D) /\ (f e. F /\ g e. G))))
12	10, 11	sylanb 449	. . 3 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +h y) = (f +h g) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> ((x -h f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)) /\ (z -h f) e. ((C +H F) i^i (D +H G))))
13	1, 3	shscl 9281	. . . . 5 |- (A +H F) e. SH
14	2, 4	shscl 9281	. . . . 5 |- (B +H G) e. SH
15	13, 14	shincl 9331	. . . 4 |- ((A +H F) i^i (B +H G)) e. SH
16	6, 3	shscl 9281	. . . . 5 |- (C +H F) e. SH
17	7, 4	shscl 9281	. . . . 5 |- (D +H G) e. SH
18	16, 17	shincl 9331	. . . 4 |- ((C +H F) i^i (D +H G)) e. SH
19	15, 18	shsvs 9336	. . 3 |- (((x -h f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)) /\ (z -h f) e. ((C +H F) i^i (D +H G))) -> ((x -h f) -h (z -h f)) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))))
20	12, 19	syl 10	. 2 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +h y) = (f +h g) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> ((x -h f) -h (z -h f)) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))))
21		hvsubsub4t 8927	. . . . . . 7 |- (((x e. H~ /\ f e. H~) /\ (z e. H~ /\ f e. H~)) -> ((x -h f) -h (z -h f)) = ((x -h z) -h (f -h f)))
22	21	anandirs 513	. . . . . 6 |- (((x e. H~ /\ z e. H~) /\ f e. H~) -> ((x -h f) -h (z -h f)) = ((x -h z) -h (f -h f)))
23		hvsubidt 8895	. . . . . . . 8 |- (f e. H~ -> (f -h f) = 0h)
24	23	opreq2d 3976	. . . . . . 7 |- (f e. H~ -> ((x -h z) -h (f -h f)) = ((x -h z) -h 0h))
25	24	adantl 388	. . . . . 6 |- (((x e. H~ /\ z e. H~) /\ f e. H~) -> ((x -h z) -h (f -h f)) = ((x -h z) -h 0h))
26		hvsubclt 8887	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> (x -h z) e. H~)
27		hvsub0t 8943	. . . . . . . 8 |- ((x -h z) e. H~ -> ((x -h z) -h 0h) = (x -h z))
28	26, 27	syl 10	. . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> ((x -h z) -h 0h) = (x -h z))
29	28	adantr 389	. . . . . 6 |- (((x e. H~ /\ z e. H~) /\ f e. H~) -> ((x -h z) -h 0h) = (x -h z))
30	22, 25, 29	3eqtrd 1511	. . . . 5 |- (((x e. H~ /\ z e. H~) /\ f e. H~) -> ((x -h f) -h (z -h f)) = (x -h z))
31	1	shel 9082	. . . . . . 7 |- (x e. A -> x e. H~)
32	31	adantr 389	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ y e. B) -> x e. H~)
33	6	shel 9082	. . . . . . 7 |- (z e. C -> z e. H~)
34	33	adantr 389	. . . . . 6 |- ((z e. C /\ w e. D) -> z e. H~)
35	32, 34	anim12i 333	. . . . 5 |- (((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) -> (x e. H~ /\ z e. H~))
36	3	shel 9082	. . . . . 6 |- (f e. F -> f e. H~)
37	36	adantr 389	. . . . 5 |- ((f e. F /\ g e. G) -> f e. H~)
38	30, 35, 37	syl2an 454	. . . 4 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) -> ((x -h f) -h (z -h f)) = (x -h z))
39	38	eleq1d 1540	. . 3 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) -> (((x -h f) -h (z -h f)) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))) <-> (x -h z) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G)))))
40	39	adantr 389	. 2 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +h y) = (f +h g) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> (((x -h f) -h (z -h f)) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))) <-> (x -h z) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G)))))
41	20, 40	mpbid 195	1 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +h y) = (f +h g) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> (x -h z) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   i^i cin 2046  (class class class)co 3963  H~chil 8788   +h cva 8789  0hc0v 8791   -h cmv 8792  SHcsh 8797   +H cph 8800

This theorem is referenced by:  5oalem4 9602

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-hvsub 8840  df-sh 9076  df-shsum 9273

Copyright terms: Public domain