Theorem 5oalem1 9599

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA.

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem1.1	|- A e. SH
5oalem1.2	|- B e. SH
5oalem1.3	|- C e. SH
5oalem1.4	|- R e. SH

Assertion

Ref	Expression
5oalem1	|- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> v e. (B +H (A i^i (C +H R))))

Proof of Theorem 5oalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5oalem1.1	. . . . . 6 |- A e. SH
2		5oalem1.3	. . . . . . 7 |- C e. SH
3		5oalem1.4	. . . . . . 7 |- R e. SH
4	2, 3	shscl 9281	. . . . . 6 |- (C +H R) e. SH
5	1, 4	shincl 9331	. . . . 5 |- (A i^i (C +H R)) e. SH
6		5oalem1.2	. . . . 5 |- B e. SH
7	5, 6	shsva 9333	. . . 4 |- ((x e. (A i^i (C +H R)) /\ y e. B) -> (x +h y) e. ((A i^i (C +H R)) +H B))
8	5, 6	shscom 9332	. . . 4 |- ((A i^i (C +H R)) +H B) = (B +H (A i^i (C +H R)))
9	7, 8	syl6eleq 1558	. . 3 |- ((x e. (A i^i (C +H R)) /\ y e. B) -> (x +h y) e. (B +H (A i^i (C +H R))))
10		pm3.26 319	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ y e. B) -> x e. A)
11	10	ad2antrr 404	. . . . 5 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> x e. A)
12		hvaddsub12t 8907	. . . . . . . . 9 |- ((x e. H~ /\ z e. H~ /\ z e. H~) -> (x +h (z -h z)) = (z +h (x -h z)))
13	12	3anidm23 884	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> (x +h (z -h z)) = (z +h (x -h z)))
14		hvsubidt 8895	. . . . . . . . . 10 |- (z e. H~ -> (z -h z) = 0h)
15	14	opreq2d 3976	. . . . . . . . 9 |- (z e. H~ -> (x +h (z -h z)) = (x +h 0h))
16		ax-hvaddid 8874	. . . . . . . . 9 |- (x e. H~ -> (x +h 0h) = x)
17	15, 16	sylan9eqr 1529	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> (x +h (z -h z)) = x)
18	13, 17	eqtr3d 1509	. . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> (z +h (x -h z)) = x)
19	1	shel 9082	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> x e. H~)
20	19	ad2antrr 404	. . . . . . 7 |- (((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) -> x e. H~)
21	2	shel 9082	. . . . . . . 8 |- (z e. C -> z e. H~)
22	21	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((z e. C /\ (x -h z) e. R) -> z e. H~)
23	18, 20, 22	syl2an 454	. . . . . 6 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> (z +h (x -h z)) = x)
24	2, 3	shsva 9333	. . . . . . 7 |- ((z e. C /\ (x -h z) e. R) -> (z +h (x -h z)) e. (C +H R))
25	24	adantl 388	. . . . . 6 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> (z +h (x -h z)) e. (C +H R))
26	23, 25	eqeltrrd 1549	. . . . 5 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> x e. (C +H R))
27	11, 26	jca 288	. . . 4 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> (x e. A /\ x e. (C +H R)))
28		elin 2207	. . . 4 |- (x e. (A i^i (C +H R)) <-> (x e. A /\ x e. (C +H R)))
29	27, 28	sylibr 200	. . 3 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> x e. (A i^i (C +H R)))
30		pm3.27 323	. . . 4 |- ((x e. A /\ y e. B) -> y e. B)
31	30	ad2antrr 404	. . 3 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> y e. B)
32	9, 29, 31	sylanc 471	. 2 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> (x +h y) e. (B +H (A i^i (C +H R))))
33		eleq1 1534	. . 3 |- (v = (x +h y) -> (v e. (B +H (A i^i (C +H R))) <-> (x +h y) e. (B +H (A i^i (C +H R)))))
34	33	ad2antlr 405	. 2 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> (v e. (B +H (A i^i (C +H R))) <-> (x +h y) e. (B +H (A i^i (C +H R)))))
35	32, 34	mpbird 196	1 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> v e. (B +H (A i^i (C +H R))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   i^i cin 2046  (class class class)co 3963  H~chil 8788   +h cva 8789  0hc0v 8791   -h cmv 8792  SHcsh 8797   +H cph 8800

This theorem is referenced by:  5oalem6 9604

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-hvsub 8840  df-sh 9076  df-shsum 9273

Copyright terms: Public domain