Theorem 4pos 5947

Description: The number 4 is positive.

Assertion

Ref	Expression
4pos	|- 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 5936	. . 3 |- 3 e. RR
2		1re 5415	. . 3 |- 1 e. RR
3		3pos 5946	. . 3 |- 0 < 3
4		lt01 5661	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0i 5583	. 2 |- 0 < (3 + 1)
6		df-4 5927	. 2 |- 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrr 2635	1 |- 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   < clt 5466  3c3 5917  4c4 5918

This theorem is referenced by:  5pos 5948  8th4div3 5986  discrlem1 6594  sqr4 6655  sqr2gt1lt2 6657  faclbnd2 6891  4ipval2 8305  4ipval3 8309  ipid 8310  ipcl 8312  ipcj 8314  ip0r 8317  ip1cnilem4 8323  ip1cnilem5 8324  ip1cnilem6 8325  ip1ilem 8429  ipasslem10 8443  minveclem38 8526  sincos4thpi 8646  sincos6thpi 8647  normlem6 8920  polid2 8963  projlem2 9126  projlem4 9128  projlem6 9130  projlem28 9152  lnopeq0 9870  lnophmlem2 9880

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927

Copyright terms: Public domain