Theorem 3oalem1 9607

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law.

Hypotheses

Ref	Expression
3oalem1.1	|- B e. CH
3oalem1.2	|- C e. CH
3oalem1.3	|- R e. CH
3oalem1.4	|- S e. CH

Assertion

Ref	Expression
3oalem1	|- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> (((x e. H~ /\ y e. H~) /\ v e. H~) /\ (z e. H~ /\ w e. H~)))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v,B   x,C,y,z,w,v   x,R,y,z,w,v   x,S,y,z,w,v

Proof of Theorem 3oalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1534	. . . . 5 |- (v = (x +h y) -> (v e. H~ <-> (x +h y) e. H~))
2		hvaddclt 8882	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x +h y) e. H~)
3	1, 2	syl5cbir 211	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (v = (x +h y) -> v e. H~))
4	3	imdistani 443	. . 3 |- (((x e. H~ /\ y e. H~) /\ v = (x +h y)) -> ((x e. H~ /\ y e. H~) /\ v e. H~))
5		3oalem1.1	. . . . 5 |- B e. CH
6	5	chel 9102	. . . 4 |- (x e. B -> x e. H~)
7		3oalem1.3	. . . . 5 |- R e. CH
8	7	chel 9102	. . . 4 |- (y e. R -> y e. H~)
9	6, 8	anim12i 333	. . 3 |- ((x e. B /\ y e. R) -> (x e. H~ /\ y e. H~))
10	4, 9	sylan 448	. 2 |- (((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) -> ((x e. H~ /\ y e. H~) /\ v e. H~))
11		3oalem1.2	. . . . 5 |- C e. CH
12	11	chel 9102	. . . 4 |- (z e. C -> z e. H~)
13		3oalem1.4	. . . . 5 |- S e. CH
14	13	chel 9102	. . . 4 |- (w e. S -> w e. H~)
15	12, 14	anim12i 333	. . 3 |- ((z e. C /\ w e. S) -> (z e. H~ /\ w e. H~))
16	15	adantr 389	. 2 |- (((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w)) -> (z e. H~ /\ w e. H~))
17	10, 16	anim12i 333	1 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> (((x e. H~ /\ y e. H~) /\ v e. H~) /\ (z e. H~ /\ w e. H~)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  (class class class)co 3963  H~chil 8788   +h cva 8789  CHcch 8798

This theorem is referenced by:  3oalem2 9608

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-sh 9076  df-ch 9092

Copyright terms: Public domain