Theorem 2pwuninel 4473

Description: The power set of the power set of the union of a set does not belong to the set. This theorem provides a way of constructing a new set that doesn't belong to a given set.

Assertion

Ref	Expression
2pwuninel	|- -. P~P~U.A e. A

Proof of Theorem 2pwuninel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomirr 4458	. . 3 |- -. P~P~U.A ~< P~P~U.A
2		ssdom2g 4396	. . . . 5 |- (U.A e. V -> (P~P~U.A (_ U.A -> P~P~U.A ~<_ U.A))
3		domsdomtr 4462	. . . . . . 7 |- ((P~P~U.A ~<_ U.A /\ U.A ~< P~P~U.A) -> P~P~U.A ~< P~P~U.A)
4	3	ex 373	. . . . . 6 |- (P~P~U.A ~<_ U.A -> (U.A ~< P~P~U.A -> P~P~U.A ~< P~P~U.A))
5		sdomtr 4460	. . . . . . 7 |- ((U.A ~< P~U.A /\ P~U.A ~< P~P~U.A) -> U.A ~< P~P~U.A)
6		canth2g 4471	. . . . . . 7 |- (U.A e. V -> U.A ~< P~U.A)
7		pwexb 2903	. . . . . . . 8 |- (U.A e. V <-> P~U.A e. V)
8		canth2g 4471	. . . . . . . 8 |- (P~U.A e. V -> P~U.A ~< P~P~U.A)
9	7, 8	sylbi 199	. . . . . . 7 |- (U.A e. V -> P~U.A ~< P~P~U.A)
10	5, 6, 9	sylanc 471	. . . . . 6 |- (U.A e. V -> U.A ~< P~P~U.A)
11	4, 10	syl5com 52	. . . . 5 |- (U.A e. V -> (P~P~U.A ~<_ U.A -> P~P~U.A ~< P~P~U.A))
12	2, 11	syld 27	. . . 4 |- (U.A e. V -> (P~P~U.A (_ U.A -> P~P~U.A ~< P~P~U.A))
13		elssuni 2521	. . . 4 |- (P~P~U.A e. A -> P~P~U.A (_ U.A)
14	12, 13	syl5 21	. . 3 |- (U.A e. V -> (P~P~U.A e. A -> P~P~U.A ~< P~P~U.A))
15	1, 14	mtoi 107	. 2 |- (U.A e. V -> -. P~P~U.A e. A)
16		elisset 1813	. . . 4 |- (P~P~U.A e. A -> P~P~U.A e. V)
17		pwexb 2903	. . . . 5 |- (P~U.A e. V <-> P~P~U.A e. V)
18	7, 17	bitr 173	. . . 4 |- (U.A e. V <-> P~P~U.A e. V)
19	16, 18	sylibr 200	. . 3 |- (P~P~U.A e. A -> U.A e. V)
20	19	con3i 98	. 2 |- (-. U.A e. V -> -. P~P~U.A e. A)
21	15, 20	pm2.61i 126	1 |- -. P~P~U.A e. A

Syntax hints:  -. wn 2   e. wcel 956  Vcvv 1807   (_ wss 2043  P~cpw 2397  U.cuni 2498   class class class wbr 2614   ~<_ cdom 4355   ~< csdm 4356

This theorem is referenced by:  mnfnre 5477

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-er 4251  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359

Copyright terms: Public domain