Theorem 2nd2val 4080

Description: Value of an alternate definition of the 2nd function.

Assertion

Ref	Expression
2nd2val	|- ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A)

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem 2nd2val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1804	. . . . . 6 |- w e. V
2		visset 1804	. . . . . 6 |- v e. V
3	1, 2	op2nd 4070	. . . . 5 |- (2nd` <.w, v>.) = v
4		equid 1122	. . . . . . . 8 |- y = y
5	4	a1i 8	. . . . . . 7 |- (x = w -> y = y)
6		id 59	. . . . . . 7 |- (y = v -> y = v)
7		eqid 1468	. . . . . . 7 |- {<.<.x, y>., z>. | z = y} = {<.<.x, y>., z>. | z = y}
8	2, 5, 6, 7	oprabval5 4014	. . . . . 6 |- ((w e. V /\ v e. V) -> (w{<.<.x, y>., z>. | z = y}v) = v)
9	1, 2, 8	mp2an 695	. . . . 5 |- (w{<.<.x, y>., z>. | z = y}v) = v
10		df-opr 3950	. . . . 5 |- (w{<.<.x, y>., z>. | z = y}v) = ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` <.w, v>.)
11	3, 9, 10	3eqtr2r 1494	. . . 4 |- ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` <.w, v>.) = (2nd` <.w, v>.)
12		fveq2 3709	. . . . 5 |- (<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` <.w, v>.) = ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A))
13		fveq2 3709	. . . . 5 |- (<.w, v>. = A -> (2nd` <.w, v>.) = (2nd` A))
14	12, 13	eqeq12d 1481	. . . 4 |- (<.w, v>. = A -> (({<.<.x, y>., z>. | z = y}` <.w, v>.) = (2nd` <.w, v>.) <-> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A)))
15	11, 14	mpbii 193	. . 3 |- (<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A))
16	15	19.23aivv 1291	. 2 |- (E.wE.v<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A))
17		visset 1804	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
18		visset 1804	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
19	17, 18	pm3.2i 285	. . . . . . . . . 10 |- (x e. V /\ y e. V)
20		a9e 1121	. . . . . . . . . 10 |- E.z z = y
21	19, 20	2th 716	. . . . . . . . 9 |- ((x e. V /\ y e. V) <-> E.z z = y)
22	21	opabbii 2661	. . . . . . . 8 |- {<.x, y>. | (x e. V /\ y e. V)} = {<.x, y>. | E.z z = y}
23		df-xp 3174	. . . . . . . 8 |- (V X. V) = {<.x, y>. | (x e. V /\ y e. V)}
24		dmoprab 3987	. . . . . . . 8 |- dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} = {<.x, y>. | E.z z = y}
25	22, 23, 24	3eqtr4r 1498	. . . . . . 7 |- dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} = (V X. V)
26	25	eleq2i 1530	. . . . . 6 |- (A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} <-> A e. (V X. V))
27		elvv 3218	. . . . . 6 |- (A e. (V X. V) <-> E.wE.v A = <.w, v>.)
28		eqcom 1469	. . . . . . 7 |- (A = <.w, v>. <-> <.w, v>. = A)
29	28	2exbii 1048	. . . . . 6 |- (E.wE.v A = <.w, v>. <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
30	26, 27, 29	3bitr 177	. . . . 5 |- (A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
31	30	negbii 187	. . . 4 |- (-. A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} <-> -. E.wE.v<.w, v>. = A)
32		ndmfv 3730	. . . 4 |- (-. A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (/))
33	31, 32	sylbir 201	. . 3 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (/))
34		n0 2279	. . . . . . . . 9 |- (-. ran { A} = (/) <-> E.v v e. ran { A})
35	2	elrn2 3335	. . . . . . . . . . 11 |- (v e. ran { A} <-> E.w<.w, v>. e. {A})
36		opex 2772	. . . . . . . . . . . . 13 |- <.w, v>. e. V
37	36	elsnc 2421	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, v>. e. {A} <-> <.w, v>. = A)
38	37	exbii 1047	. . . . . . . . . . 11 |- (E.w<.w, v>. e. {A} <-> E.w<.w, v>. = A)
39	35, 38	bitr 173	. . . . . . . . . 10 |- (v e. ran { A} <-> E.w<.w, v>. = A)
40	39	exbii 1047	. . . . . . . . 9 |- (E.v v e. ran { A} <-> E.vE.w<.w, v>. = A)
41		excom 1042	. . . . . . . . 9 |- (E.vE.w<.w, v>. = A <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
42	34, 40, 41	3bitr 177	. . . . . . . 8 |- (-. ran { A} = (/) <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
43	42	biimp 151	. . . . . . 7 |- (-. ran { A} = (/) -> E.wE.v<.w, v>. = A)
44	43	con1i 96	. . . . . 6 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> ran { A} = (/))
45	44	unieqd 2502	. . . . 5 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> U.ran { A} = U.(/))
46		uni0 2515	. . . . 5 |- U.(/) = (/)
47	45, 46	syl6eq 1515	. . . 4 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> U.ran { A} = (/))
48		2ndval 4066	. . . 4 |- (2nd` A) = U.ran { A}
49	47, 48	syl5eq 1511	. . 3 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> (2nd` A) = (/))
50	33, 49	eqtr4d 1502	. 2 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A))
51	16, 50	pm2.61i 126	1 |- ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  Vcvv 1802  (/)c0 2270  {csn 2399  <.cop 2401  U.cuni 2493  {copab 2656   X. cxp 3158  dom cdm 3160  ran crn 3161  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  {copab2 3949  2ndc2nd 4062

This theorem is referenced by:  df2nd2 4111

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-2nd 4064

Copyright terms: Public domain