Theorem 2elresin 3598

Description: Membership in two functions restricted by each other's domain.

Assertion

Ref	Expression
2elresin	|- ((F Fn A /\ G Fn B) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) <-> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B)))))

Proof of Theorem 2elresin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnop 3591	. . . . . . 7 |- ((F Fn A /\ <.x, y>. e. F) -> x e. A)
2		fnop 3591	. . . . . . 7 |- ((G Fn B /\ <.x, z>. e. G) -> x e. B)
3	1, 2	anim12i 333	. . . . . 6 |- (((F Fn A /\ <.x, y>. e. F) /\ (G Fn B /\ <.x, z>. e. G)) -> (x e. A /\ x e. B))
4		an4 506	. . . . . 6 |- (((F Fn A /\ G Fn B) /\ (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G)) <-> ((F Fn A /\ <.x, y>. e. F) /\ (G Fn B /\ <.x, z>. e. G)))
5		elin 2207	. . . . . 6 |- (x e. (A i^i B) <-> (x e. A /\ x e. B))
6	3, 4, 5	3imtr4 219	. . . . 5 |- (((F Fn A /\ G Fn B) /\ (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G)) -> x e. (A i^i B))
7		visset 1813	. . . . . . . 8 |- y e. V
8	7	opres 3375	. . . . . . 7 |- (x e. (A i^i B) -> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) <-> <.x, y>. e. F))
9		visset 1813	. . . . . . . 8 |- z e. V
10	9	opres 3375	. . . . . . 7 |- (x e. (A i^i B) -> (<.x, z>. e. (G |` (A i^i B)) <-> <.x, z>. e. G))
11	8, 10	anbi12d 628	. . . . . 6 |- (x e. (A i^i B) -> ((<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B))) <-> (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G)))
12	11	biimprd 154	. . . . 5 |- (x e. (A i^i B) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) -> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B)))))
13	6, 12	syl 10	. . . 4 |- (((F Fn A /\ G Fn B) /\ (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G)) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) -> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B)))))
14	13	ex 373	. . 3 |- ((F Fn A /\ G Fn B) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) -> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B))))))
15	14	pm2.43d 65	. 2 |- ((F Fn A /\ G Fn B) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) -> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B)))))
16		resss 3383	. . . 4 |- (F |` (A i^i B)) (_ F
17	16	sseli 2065	. . 3 |- (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) -> <.x, y>. e. F)
18		resss 3383	. . . 4 |- (G |` (A i^i B)) (_ G
19	18	sseli 2065	. . 3 |- (<.x, z>. e. (G |` (A i^i B)) -> <.x, z>. e. G)
20	17, 19	anim12i 333	. 2 |- ((<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B))) -> (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G))
21	15, 20	impbid1 517	1 |- ((F Fn A /\ G Fn B) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) <-> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958   i^i cin 2046  <.cop 2411   |` cres 3172   Fn wfn 3177

This theorem is referenced by:  tfrlem5 3915

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-dm 3188  df-res 3190  df-fun 3192  df-fn 3193

Copyright terms: Public domain