Theorem 2basgent 7641

Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies.

Assertion

Ref	Expression
2basgent	|- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ (B (_ C /\ C (_ (topGen` B))) -> (topGen` B) = (topGen` C))

Proof of Theorem 2basgent

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgsst 7636	. . . 4 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B (_ C) -> (topGen` B) (_ (topGen` C))
2	1	3expa 833	. . 3 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ B (_ C) -> (topGen` B) (_ (topGen` C))
3	2	adantrr 395	. 2 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ (B (_ C /\ C (_ (topGen` B))) -> (topGen` B) (_ (topGen` C))
4		tgsst 7636	. . . . . . 7 |- ((C e. Bases /\ (topGen` B) e. Bases /\ C (_ (topGen` B)) -> (topGen` C) (_ (topGen` (topGen` B)))
5		tgclt 7624	. . . . . . . 8 |- (B e. Bases -> (topGen` B) e. Top)
6		topbast 7627	. . . . . . . 8 |- ((topGen` B) e. Top -> (topGen` B) e. Bases)
7	5, 6	syl 10	. . . . . . 7 |- (B e. Bases -> (topGen` B) e. Bases)
8	4, 7	syl3an2 860	. . . . . 6 |- ((C e. Bases /\ B e. Bases /\ C (_ (topGen` B)) -> (topGen` C) (_ (topGen` (topGen` B)))
9	8	3com12 837	. . . . 5 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ C (_ (topGen` B)) -> (topGen` C) (_ (topGen` (topGen` B)))
10	9	3expa 833	. . . 4 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ C (_ (topGen` B)) -> (topGen` C) (_ (topGen` (topGen` B)))
11	10	adantrl 394	. . 3 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ (B (_ C /\ C (_ (topGen` B))) -> (topGen` C) (_ (topGen` (topGen` B)))
12		tgidmt 7632	. . . 4 |- (B e. Bases -> (topGen` (topGen` B)) = (topGen` B))
13	12	ad2antrr 404	. . 3 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ (B (_ C /\ C (_ (topGen` B))) -> (topGen` (topGen` B)) = (topGen` B))
14	11, 13	sseqtrd 2097	. 2 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ (B (_ C /\ C (_ (topGen` B))) -> (topGen` C) (_ (topGen` B))
15	3, 14	eqssd 2079	1 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ (B (_ C /\ C (_ (topGen` B))) -> (topGen` B) = (topGen` C))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   (_ wss 2047  ` cfv 3182  Topctop 7588  Basesctb 7590  topGenctg 7591

This theorem is referenced by:  tgioo 7915

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-top 7592  df-bases 7594  df-topgen 7595

Copyright terms: Public domain