Theorem 1re 5435

Description: 1 is a real number. This used to be one of our postulates for complex numbers, but Eric Schmidt discovered that it could be derived from a weaker postulate, ax1cn 5269, by exploiting properties of the imaginary unit i. (Contributed by Eric Schmidt, 11-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
1re	|- 1 e. RR

Proof of Theorem 1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axicn 5270	. . . 4 |- i e. CC
2		axcnre 5286	. . . 4 |- (i e. CC -> E.x e. RR E.y e. RR i = (x + (i x. y)))
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- E.x e. RR E.y e. RR i = (x + (i x. y))
4		neeq1 1590	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> (z =/= 0 <-> x =/= 0))
5	4	rcla4ev 1877	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ x =/= 0) -> E.z e. RR z =/= 0)
6	5	adantlr 393	. . . . . . 7 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ x =/= 0) -> E.z e. RR z =/= 0)
7		neeq1 1590	. . . . . . . . 9 |- (z = y -> (z =/= 0 <-> y =/= 0))
8	7	rcla4ev 1877	. . . . . . . 8 |- ((y e. RR /\ y =/= 0) -> E.z e. RR z =/= 0)
9	8	adantll 392	. . . . . . 7 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ y =/= 0) -> E.z e. RR z =/= 0)
10	6, 9	jaodan 426	. . . . . 6 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ (x =/= 0 \/ y =/= 0)) -> E.z e. RR z =/= 0)
11	10	ex 373	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> ((x =/= 0 \/ y =/= 0) -> E.z e. RR z =/= 0))
12		ine0 5434	. . . . . . 7 |- i =/= 0
13		neeq1 1590	. . . . . . 7 |- (i = (x + (i x. y)) -> (i =/= 0 <-> (x + (i x. y)) =/= 0))
14	12, 13	mpbii 193	. . . . . 6 |- (i = (x + (i x. y)) -> (x + (i x. y)) =/= 0)
15		ioran 306	. . . . . . . . 9 |- (-. (x =/= 0 \/ y =/= 0) <-> (-. x =/= 0 /\ -. y =/= 0))
16		nne 1589	. . . . . . . . . 10 |- (-. x =/= 0 <-> x = 0)
17		nne 1589	. . . . . . . . . 10 |- (-. y =/= 0 <-> y = 0)
18	16, 17	anbi12i 482	. . . . . . . . 9 |- ((-. x =/= 0 /\ -. y =/= 0) <-> (x = 0 /\ y = 0))
19	15, 18	bitr 173	. . . . . . . 8 |- (-. (x =/= 0 \/ y =/= 0) <-> (x = 0 /\ y = 0))
20		opreq12 3970	. . . . . . . . . 10 |- ((x = 0 /\ (i x. y) = 0) -> (x + (i x. y)) = (0 + 0))
21		opreq2 3969	. . . . . . . . . . 11 |- (y = 0 -> (i x. y) = (i x. 0))
22	1	mul01 5431	. . . . . . . . . . 11 |- (i x. 0) = 0
23	21, 22	syl6eq 1523	. . . . . . . . . 10 |- (y = 0 -> (i x. y) = 0)
24	20, 23	sylan2 451	. . . . . . . . 9 |- ((x = 0 /\ y = 0) -> (x + (i x. y)) = (0 + 0))
25		0cn 5328	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
26	25	addid1 5330	. . . . . . . . 9 |- (0 + 0) = 0
27	24, 26	syl6eq 1523	. . . . . . . 8 |- ((x = 0 /\ y = 0) -> (x + (i x. y)) = 0)
28	19, 27	sylbi 199	. . . . . . 7 |- (-. (x =/= 0 \/ y =/= 0) -> (x + (i x. y)) = 0)
29	28	necon1ai 1608	. . . . . 6 |- ((x + (i x. y)) =/= 0 -> (x =/= 0 \/ y =/= 0))
30	14, 29	syl 10	. . . . 5 |- (i = (x + (i x. y)) -> (x =/= 0 \/ y =/= 0))
31	11, 30	syl5 21	. . . 4 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (i = (x + (i x. y)) -> E.z e. RR z =/= 0))
32	31	r19.23aivv 1748	. . 3 |- (E.x e. RR E.y e. RR i = (x + (i x. y)) -> E.z e. RR z =/= 0)
33	3, 32	ax-mp 7	. 2 |- E.z e. RR z =/= 0
34		axrrecex 5284	. . . 4 |- ((z e. RR /\ z =/= 0) -> E.x e. RR (z x. x) = 1)
35		eleq1 1534	. . . . . . 7 |- ((z x. x) = 1 -> ((z x. x) e. RR <-> 1 e. RR))
36		axmulrcl 5274	. . . . . . 7 |- ((z e. RR /\ x e. RR) -> (z x. x) e. RR)
37	35, 36	syl5cbi 209	. . . . . 6 |- ((z e. RR /\ x e. RR) -> ((z x. x) = 1 -> 1 e. RR))
38	37	r19.23adva 1747	. . . . 5 |- (z e. RR -> (E.x e. RR (z x. x) = 1 -> 1 e. RR))
39	38	adantr 389	. . . 4 |- ((z e. RR /\ z =/= 0) -> (E.x e. RR (z x. x) = 1 -> 1 e. RR))
40	34, 39	mpd 26	. . 3 |- ((z e. RR /\ z =/= 0) -> 1 e. RR)
41	40	r19.23aiva 1744	. 2 |- (E.z e. RR z =/= 0 -> 1 e. RR)
42	33, 41	ax-mp 7	1 |- 1 e. RR

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  E.wrex 1646  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235  ici 5236   + caddc 5237   x. cmul 5239

This theorem is referenced by:  peano2re 5436  renegclt 5437  0reALT 5441  peano2rem 5442  lt01 5680  redivclz 5799  rereccl 5801  rerecclz 5802  rerecclt 5803  eqneg 5804  ltp1t 5811  recgt0i 5814  ltm1t 5815  prodgt0 5819  ltmul1 5822  ltdiv1 5824  mulgt1t 5845  ltmulgt11t 5846  lemulge11t 5848  recgt0t 5861  ltrec 5879  reclt1t 5898  recgt1t 5899  recgt1it 5900  recp1lt1 5901  recrecltt 5902  halfpos 5904  ledivp1 5906  ltdivp1 5907  posex 5908  nnssre 5927  nnge1t 5943  nngt1ne1t 5944  nnle1eq1t 5945  nngt0t 5946  lt1nnn 5947  nnrecgt0t 5953  nnleltp1t 5954  nnltp1let 5955  nnsub 5956  nnaddm1clt 5958  2re 5979  3re 5981  4re 5982  5re 5983  6re 5984  7re 5985  8re 5986  9re 5987  10re 5988  2pos 5989  3pos 5991  4pos 5992  5pos 5993  6pos 5994  7pos 5995  8pos 5996  9pos 5997  10pos 5998  1lt2 6028  halflt1 6030  nnunb 6070  nnreclt 6072  xrub 6080  lt0nnn0 6116  nn0ltp1let 6127  nn0leltp1t 6128  nn0ltlem1t 6129  elnnz1 6155  znnnlt1t 6156  elnn0nn 6171  zltp1let 6181  zleltp1t 6182  recnzt 6191  gtndivt 6193  nneo 6197  dfuz 6202  uzindOLD 6208  nn0ind-raph 6214  zbtwnre 6221  rebtwnz 6222  fraclt1t 6231  flbi2t 6241  qbtwnre 6278  qbtwnxr 6279  monoord 6294  seq1lem2 6310  eluzp1m1t 6433  eluzp1p1t 6435  reexpclt 6580  rpexpclt 6582  expge0t 6591  expge1t 6593  expordit 6600  expwordit 6603  expword2it 6605  expmwordit 6606  exple1t 6607  bernneq 6652  bernneq2 6653  expnbndt 6654  expnlbndt 6655  discrlem2 6657  discrlem3 6658  nnlesq 6661  nnesq 6662  sqrlem1 6673  sqrlem2 6674  sqrlem3 6675  sqrlem6 6678  sqrlem8 6680  sqrlem9 6681  sqrlem10 6682  sqrlem11 6683  sqrlem16 6688  sqrlem19 6691  sqrlem20 6692  sqrlem21 6693  sqrlem22 6694  sqrth 6699  sqrcl 6700  sqrgt0 6701  sqr1 6716  sqr2gt1lt2 6719  sqr2irrlem1 6724  inelr 6735  nthruz 6746  cjexpt 6817  re1 6822  im1 6823  rei 6824  imi 6825  absexpt 6868  abs1m 6904  seq1bnd 6910  caubnd 6926  facwordit 6944  faclbnd3 6947  faclbnd4lem1 6948  faclbnd4lem4 6951  facavgt 6955  bcnp11t 6965  bcnp1nt 6966  bcpasc2 6967  bcpasc2t 6968  bcpasc 6969  bccl2t 6971  climmullem1 7120  climmullem2 7121  climmullem3 7122  climmullem4 7123  climmullem5 7124  serzf0 7169  ser1f0 7170  fnsmnt 7226  expcnvlem1 7227  expcnvlem2 7228  expcnvlem4 7230  expcnvlem5 7231  geolimilem 7235  geolim1i 7238  georeclim 7240  geoisumr 7243  geoisum1c 7245  0.999... 7246  mulc1cncf 7279  efcltlem1 7304  erelem7 7325  ele3lem 7326  ege2lem2 7328  ege2le3lem2 7329  ere 7330  efaddlem1 7338  efaddlem2 7339  efaddlem7 7344  efaddlem8 7345  efaddlem10 7347  efaddlem12 7349  efaddlem13 7350  efaddlem15 7352  efaddlem20 7357  ef01tllem2 7384  ef01tllem2OLD 7385  ef01tlub 7386  absef01tlub 7388  eirrlem1 7389  eirrlem3 7391  eirrlem4 7392  abspef01tlub 7395  efgt1 7403  efgt0 7404  eflt 7406  eflegeolem2 7414  efm1legeo 7417  efcnlem1 7419  efcnlem2 7420  efcnlem4 7422  reeff1olem1 7424  reeff1o 7426  resin4pt 7436  recos4pt 7437  sinbndt 7465  cosbndt 7466  sin01bndlem2 7468  sin01bndlem3 7469  cos01bndlem2 7470  cos01bndlem3 7471  cos1bnd 7474  cos2bnd 7475  sin01gt0 7476  cos01gt0 7477  sin02gt0 7478  sincos1sgn 7479  infpn2 7509  ruclem8 7517  ruclem13 7522  ruclem25 7534  blex 7849  opnm 7860  tgioolem 7914  dscmet 7918  lmnn 7935  caun0 7945  bcthlem16 8014  bcthlem18 8016  nvm1 8292  nvmtri 8299  nv1 8304  sm1cnilem 8347  ipid 8363  nmosetn0 8428  nmoub3i 8436  nmo0 8451  nmlno0lem 8453  blocnilem 8464  ipasslem10 8499  minveclem25 8569  htthlem6 8625  sinhalfpilem 8679  sinperlem1 8686  sincos4thpi 8710  sincos6thpi 8711  sineq0 8713  efifolem1 8722  efifolem3 8724  efifolem4 8725  efifolem5 8726  efifolem6 8727  efifolem7 8728  log1 8766  loge 8767  hisubcom 8970  normlem9 8984  normlem7tALT 8985  norm-ii 9004  normsub 9008  bcs2t 9049  norm1t 9121  projlem1 9186  projlem2 9187  projlem4 9189  projlem6 9191  projlem28 9213  projlem29 9214  nmopsetn0 9792  nmfnsetn0 9805  nmopub2tALT 9833  nmopge0t 9835  nmfnleub2t 9850  nmfnge0t 9851  0cnop 9903  0cnfn 9904  nmop0 9910  nmfn0 9911  nmlnop0ALT 9920  nmopunt 9939  unopbdt 9940  hmopdt 9947  nmcopexlem2 9952  nmcopexlem5 9955  nmcfnexlem2 9981  nmcfnexlem5 9984  nmopadjlem 10022  nmopco 10028  nmopcoadj 10034  branmfnt 10038  pjnmop 10075  pjbdln 10076  hstle1t 10153  hstlet 10157  hstlest 10158  stge1 10165  stles 10168  stadd 10173  stadd3 10175  strlem1 10177  strlem3a 10179  strlem5 10182  strlem6 10183  hstrlem6 10191  jplem1 10195  cdj1 10360  iintlem2 10633

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358

Copyright terms: Public domain