Theorem 1q 5057

Description: The positive fraction 'one'.

Assertion

Ref	Expression
1q	|- 1Q e. Q.

Proof of Theorem 1q

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 5011	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 3217	. . . 4 |- ((1o e. N. /\ 1o e. N.) -> <.1o, 1o>. e. (N. X. N.))
3	1, 1, 2	mp2an 697	. . 3 |- <.1o, 1o>. e. (N. X. N.)
4		enqex 5048	. . . 4 |- ~Q e. V
5	4	ecelqsi 4292	. . 3 |- (<.1o, 1o>. e. (N. X. N.) -> [<.1o, 1o>.] ~Q e. ((N. X. N.)/. ~Q ))
6	3, 5	ax-mp 7	. 2 |- [<.1o, 1o>.] ~Q e. ((N. X. N.)/. ~Q )
7		df-1q 5043	. . 3 |- 1Q = [<.1o, 1o>.] ~Q
8		df-nq 5038	. . 3 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
9	7, 8	eleq12i 1539	. 2 |- (1Q e. Q. <-> [<.1o, 1o>.] ~Q e. ((N. X. N.)/. ~Q ))
10	6, 9	mpbir 190	1 |- 1Q e. Q.

Syntax hints:   e. wcel 958  <.cop 2411   X. cxp 3168  1oc1o 4128  [cec 4259  /.cqs 4260  N.cnpi 4972   ~Q ceq 4978  Q.cnq 4979  1Qc1q 4980

This theorem is referenced by:  recmulpq 5070  recclpq 5072  ltaddpq 5079  ltrpq 5085  1pr 5117  addclprlem1 5118  1idpr 5133  prlem934a 5137  prlem936 5155  reclem3pr 5158  reclem4pr 5159

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-1o 4133  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-enq 5037  df-nq 5038  df-1q 5043

Copyright terms: Public domain