Theorem 1pi 5011

Description: Ordinal 'one' is a positive integer.

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 5004	. 2 |- (1o e. N. <-> (1o e. om /\ 1o =/= (/)))
2		1onn 4253	. 2 |- 1o e. om
3		1ne0 4142	. 2 |- 1o =/= (/)
4	1, 2, 3	mpbir2an 730	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:   e. wcel 958   =/= wne 1585  (/)c0 2280  omcom 3131  1oc1o 4128  N.cnpi 4972

This theorem is referenced by:  mulidpi 5014  1lt2pi 5032  nlt1pi 5033  indpi 5034  1q 5057  1qec 5068  mulidpq 5069  1lt2pq 5078  halfpq 5082  prlem934a 5137  prlem934b 5138  prlem934 5139

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-1o 4133  df-ni 5000

Copyright terms: Public domain