Theorem 1nn 5936

Description: Peano postulate: 1 is a natural number.

Assertion

Ref	Expression
1nn	|- 1 e. NN

Proof of Theorem 1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 5281	. . . . 5 |- 1 e. CC
2	1	elisseti 1821	. . . 4 |- 1 e. V
3	2	elintab 2548	. . 3 |- (1 e. |^|{x | (1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x)} <-> A.x((1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x) -> 1 e. x))
4		pm3.26 319	. . 3 |- ((1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x) -> 1 e. x)
5	3, 4	mpgbir 990	. 2 |- 1 e. |^|{x | (1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x)}
6		df-n 5927	. 2 |- NN = |^|{x | (1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x)}
7	5, 6	eleqtrr 1550	1 |- 1 e. NN

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960  {cab 1466  A.wral 1648  |^|cint 2537  (class class class)co 3969  CCcc 5244  1c1 5247   + caddc 5249  NNcn 5308

This theorem is referenced by:  dfnn2 5938  nnind 5939  nn1suc 5941  nnsub 5958  nnsubt 5959  nnaddm1clt 5960  2nn 6001  3nn 6002  nnunb 6072  1nn0 6116  1z 6161  elnn0nn 6173  nneo 6199  nneot 6200  zqt 6261  seq11lem 6316  seq1m1 6320  seq1rn 6323  seq1res 6328  ser1recl 6332  ser11 6336  ser1add2 6339  ser1add 6340  exp1t 6574  nnexpclt 6577  expnbndt 6655  nthruz 6747  seq1bnd 6910  seq1ublem 6911  facnnt 6933  fac0 6934  fac1 6935  facclt 6940  faclbnd3 6947  faclbnd4lem1 6948  faclbnd4lem2 6949  faclbnd4lem3 6950  faclbnd4lem4 6951  bcpasc2t 6968  bccl2t 6971  climub 7154  climsup 7155  caucvglem2 7158  caucvg3t 7168  ser1f0 7170  ser1const 7171  ser1clim0 7173  ser1cmp 7174  ser1cmp2 7177  cvgcmp 7184  cvgcmpub 7185  cvgcmp3cet 7190  expcnvlem3 7229  expcnvlem6 7232  cvgratlem2ALT 7248  ege2le3lem1 7327  ege2lem2 7328  ege2le3lem2 7329  efaddlem24 7361  ef1tllem 7381  ef1tlub 7382  ef01tlub 7386  absef01tlub 7388  eirr 7394  acdc3lem 7487  acdc2lem2 7490  acdc5lem2 7493  xpnnen 7500  infpnlem2 7508  ruclem6 7516  ruclem7 7517  ruclem8 7518  ruclem13 7523  ruclem16 7526  ruclem25 7535  ruclem29 7539  ruclem32 7542  ruclem33 7543  ruclem35 7545  ruclem37 7547  fsumcnlem 7986  bcthlem16 8011  bcthlem33 8028  ipcl 8361  hlim0 9100  projlem17 9197  projlem20 9200  projlem28 9208

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-enr 5178  df-nr 5179  df-0r 5183  df-1r 5184  df-c 5252  df-1 5254  df-r 5256  df-n 5927

Copyright terms: Public domain