Theorem 1lt2pi 5004

Description: One is less than two (one plus one).

Assertion

Ref	Expression
1lt2pi	|- 1o <N (1o +N 1o)

Proof of Theorem 1lt2pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 4237	. . . . 5 |- 1o e. om
2		nna0 4207	. . . . 5 |- (1o e. om -> (1o +o (/)) = 1o)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 |- (1o +o (/)) = 1o
4		0lt1o 4131	. . . . 5 |- (/) e. 1o
5		peano1 3139	. . . . . 6 |- (/) e. om
6		nnaord 4219	. . . . . 6 |- (((/) e. om /\ 1o e. om /\ 1o e. om) -> ((/) e. 1o <-> (1o +o (/)) e. (1o +o 1o)))
7	5, 1, 1, 6	mp3an 913	. . . . 5 |- ((/) e. 1o <-> (1o +o (/)) e. (1o +o 1o))
8	4, 7	mpbi 189	. . . 4 |- (1o +o (/)) e. (1o +o 1o)
9	3, 8	eqeltrr 1537	. . 3 |- 1o e. (1o +o 1o)
10		1pi 4983	. . . 4 |- 1o e. N.
11		addpiord 4984	. . . 4 |- ((1o e. N. /\ 1o e. N.) -> (1o +N 1o) = (1o +o 1o))
12	10, 10, 11	mp2an 695	. . 3 |- (1o +N 1o) = (1o +o 1o)
13	9, 12	eleqtrr 1539	. 2 |- 1o e. (1o +N 1o)
14		addclpi 4992	. . . 4 |- ((1o e. N. /\ 1o e. N.) -> (1o +N 1o) e. N.)
15	10, 10, 14	mp2an 695	. . 3 |- (1o +N 1o) e. N.
16		ltpiord 4987	. . 3 |- ((1o e. N. /\ (1o +N 1o) e. N.) -> (1o <N (1o +N 1o) <-> 1o e. (1o +N 1o)))
17	10, 15, 16	mp2an 695	. 2 |- (1o <N (1o +N 1o) <-> 1o e. (1o +N 1o))
18	13, 17	mpbir 190	1 |- 1o <N (1o +N 1o)

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 953   e. wcel 955  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  omcom 3121  (class class class)co 3948  1oc1o 4112   +o coa 4114  N.cnpi 4944   +N cpli 4945   <N clti 4947

This theorem is referenced by:  1lt2pq 5050

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-ni 4972  df-pli 4973  df-lti 4975

Copyright terms: Public domain