Theorem 0z 6093

Description: Zero is an integer.

Assertion

Ref	Expression
0z	|- 0 e. ZZ

Proof of Theorem 0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 6084	. 2 |- (0 e. ZZ <-> (0 e. RR /\ (0 = 0 \/ 0 e. NN \/ -u0 e. NN)))
2		0re 5412	. 2 |- 0 e. RR
3		eqid 1468	. . . 4 |- 0 = 0
4	3	orci 270	. . 3 |- (0 = 0 \/ (0 e. NN \/ -u0 e. NN))
5		3orass 776	. . 3 |- ((0 = 0 \/ 0 e. NN \/ -u0 e. NN) <-> (0 = 0 \/ (0 e. NN \/ -u0 e. NN)))
6	4, 5	mpbir 190	. 2 |- (0 = 0 \/ 0 e. NN \/ -u0 e. NN)
7	1, 2, 6	mpbir2an 728	1 |- 0 e. ZZ

Syntax hints:   \/ wo 222   \/ w3o 772   = wceq 953   e. wcel 955  RRcr 5205  0cc0 5206  -ucneg 5265  NNcn 5268  ZZcz 5270

This theorem is referenced by:  elnn0z 6094  nn0ssz 6099  znegclt 6110  elnn0nn 6118  recnzt 6138  gtndivt 6140  zeot 6146  nn0ind 6160  flge0nn0t 6185  btwnzge0t 6188  nn0uz 6370  nn0infm 6396  elfz2nn0t 6427  fznn0t 6448  fzshftralt 6454  nthruc 6676  cvganz 6861  bcpasc 6907  fsumshft 6969  binomlem6 7009  binom 7010  bcxmas 7014  clmi1 7024  clm4at 7028  clmi2at 7029  climconst2 7032  climconst3 7033  climunii 7035  2climnn0 7040  climshft 7041  climres 7042  climshft2 7043  serzclim0 7046  climaddlem3 7052  climmullem8 7063  serzf0 7105  ser1f0 7106  isumnn0nn 7142  isum0split 7152  fnsmnt 7161  geolimilem 7170  geolim1i 7173  geoisum 7177  fsum0diaglem1 7191  fsum0diaglem2 7192  fsum0diag 7193  fsum0diag2 7194  fsum0diag4 7196  efcltlem1 7246  ef0lem 7252  efclt 7254  efcvg 7256  efcvgfsum 7257  reefcl 7259  efcj 7278  efaddlem26 7305  eftlexOLD 7319  ef1tllem 7323  eirrlem5 7334  eirr 7335  efm1lim 7351  eflegeolem2 7354  nnenom 7440  zaddsubg 8067

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-neg 5330  df-z 6083

Copyright terms: Public domain