Theorem 0sdomg 4466

Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty.

Assertion

Ref	Expression
0sdomg	|- (A e. B -> ((/) ~< A <-> A =/= (/)))

Proof of Theorem 0sdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymg 4411	. . . . 5 |- (A e. B -> ((/) ~~ A -> A ~~ (/)))
2		0ex 2711	. . . . . 6 |- (/) e. V
3	2	ensym 4412	. . . . 5 |- (A ~~ (/) -> (/) ~~ A)
4	1, 3	impbid1 517	. . . 4 |- (A e. B -> ((/) ~~ A <-> A ~~ (/)))
5		en0 4423	. . . 4 |- (A ~~ (/) <-> A = (/))
6	4, 5	syl6bb 536	. . 3 |- (A e. B -> ((/) ~~ A <-> A = (/)))
7	6	negbid 611	. 2 |- (A e. B -> (-. (/) ~~ A <-> -. A = (/)))
8		brsdom 4381	. . 3 |- ((/) ~< A <-> ((/) ~<_ A /\ -. (/) ~~ A))
9		0dom 4464	. . 3 |- (/) ~<_ A
10	8, 9	mpbiran 728	. 2 |- ((/) ~< A <-> -. (/) ~~ A)
11		df-ne 1587	. 2 |- (A =/= (/) <-> -. A = (/))
12	7, 10, 11	3bitr4g 555	1 |- (A e. B -> ((/) ~< A <-> A =/= (/)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  (/)c0 2280   class class class wbr 2619   ~~ cen 4364   ~<_ cdom 4365   ~< csdm 4366

This theorem is referenced by:  0sdom 4467  fodomr 4483  fodomfibOLD 4567  fodomb 4800  hgrablkcard 10774

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-er 4261  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370

Copyright terms: Public domain