Theorem 0sdom1dom 4504

Description: Strict dominance over zero is the same as dominance over one.

Hypothesis

Ref	Expression
0sdom1dom.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
0sdom1dom	|- ((/) ~< A <-> 1o ~<_ A)

Proof of Theorem 0sdom1dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0sdom1dom.1	. . . . 5 |- A e. V
2	1	0sdom 4447	. . . 4 |- ((/) ~< A <-> A =/= (/))
3		ne0 2278	. . . 4 |- (A =/= (/) <-> E.x x e. A)
4	2, 3	bitr 173	. . 3 |- ((/) ~< A <-> E.x x e. A)
5		snssi 2457	. . . . 5 |- (x e. A -> {x} (_ A)
6		ssdom2g 4390	. . . . . 6 |- (A e. V -> ({x} (_ A -> {x} ~<_ A))
7	1, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- ({x} (_ A -> {x} ~<_ A)
8		1on 4122	. . . . . . . 8 |- 1o e. On
9	8	elisseti 1809	. . . . . . 7 |- 1o e. V
10		visset 1804	. . . . . . . 8 |- x e. V
11	10	ensn1 4405	. . . . . . 7 |- {x} ~~ 1o
12	9, 11	ensymi 4394	. . . . . 6 |- 1o ~~ {x}
13		endomtr 4401	. . . . . 6 |- ((1o ~~ {x} /\ {x} ~<_ A) -> 1o ~<_ A)
14	12, 13	mpan 693	. . . . 5 |- ({x} ~<_ A -> 1o ~<_ A)
15	5, 7, 14	3syl 20	. . . 4 |- (x e. A -> 1o ~<_ A)
16	15	19.23aiv 1290	. . 3 |- (E.x x e. A -> 1o ~<_ A)
17	4, 16	sylbi 199	. 2 |- ((/) ~< A -> 1o ~<_ A)
18		df-1o 4117	. . . 4 |- 1o = suc (/)
19	18	breq1i 2616	. . 3 |- (1o ~<_ A <-> suc (/) ~<_ A)
20		peano1 3139	. . . 4 |- (/) e. om
21		sucdomi 4503	. . . 4 |- (((/) e. om /\ A e. V) -> (suc (/) ~<_ A -> (/) ~< A))
22	20, 1, 21	mp2an 695	. . 3 |- (suc (/) ~<_ A -> (/) ~< A)
23	19, 22	sylbi 199	. 2 |- (1o ~<_ A -> (/) ~< A)
24	17, 23	impbi 157	1 |- ((/) ~< A <-> 1o ~<_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   e. wcel 955  E.wex 977   =/= wne 1577  Vcvv 1802   (_ wss 2037  (/)c0 2270  {csn 2399   class class class wbr 2609  Oncon0 2938  suc csuc 2940  omcom 3121  1oc1o 4112   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349   ~< csdm 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-1o 4117  df-er 4245  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353

Copyright terms: Public domain