Theorem 0r 5161

Description: The constant 0R is a signed real.

Assertion

Ref	Expression
0r	|- 0R e. R.

Proof of Theorem 0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 5089	. . . 4 |- 1P e. P.
2		opelxpi 3207	. . . 4 |- ((1P e. P. /\ 1P e. P.) -> <.1P, 1P>. e. (P. X. P.))
3	1, 1, 2	mp2an 695	. . 3 |- <.1P, 1P>. e. (P. X. P.)
4		enrex 5150	. . . 4 |- ~R e. V
5	4	ecelqsi 4276	. . 3 |- (<.1P, 1P>. e. (P. X. P.) -> [<.1P, 1P>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
6	3, 5	ax-mp 7	. 2 |- [<.1P, 1P>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R )
7		df-0r 5143	. . 3 |- 0R = [<.1P, 1P>.] ~R
8		df-nr 5139	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
9	7, 8	eleq12i 1531	. 2 |- (0R e. R. <-> [<.1P, 1P>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
10	6, 9	mpbir 190	1 |- 0R e. R.

Syntax hints:   e. wcel 955  <.cop 2401   X. cxp 3158  [cec 4243  /.cqs 4244  P.cnp 4957  1Pc1p 4958   ~R cer 4964  R.cnr 4965  0Rc0r 4966

This theorem is referenced by:  addgt0sr 5185  sqgt0sr 5187  ssgt0sr 5189  suppsr2 5195  suppsr3 5196  supsrlem2 5198  supsr 5203  opelreal 5221  elreal 5222  eqresr 5227  addresr 5228  mulresr 5229  axresscn 5240  axicn 5242  ax0id 5253  ax1id 5254  axi2m1 5257  axcnre 5258  pre-axmulgt0 5262

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-enr 5138  df-nr 5139  df-0r 5143

Copyright terms: Public domain