Theorem 0oval 8448

Description: Value of the zero operator.

Hypotheses

Ref	Expression
0oval.1	|- X = (Base` U)
0oval.6	|- Z = (0v` W)
0oval.0	|- O = (U 0op W)

Assertion

Ref	Expression
0oval	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ A e. X) -> (O` A) = Z)

Proof of Theorem 0oval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0oval.1	. . . . 5 |- X = (Base` U)
2		0oval.6	. . . . 5 |- Z = (0v` W)
3		0oval.0	. . . . 5 |- O = (U 0op W)
4	1, 2, 3	0ofval 8447	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> O = (X X. {Z}))
5	4	fveq1d 3726	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (O` A) = ((X X. {Z})` A))
6	5	3adant3 799	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ A e. X) -> (O` A) = ((X X. {Z})` A))
7		fvex 3732	. . . . 5 |- (0v` W) e. V
8	2, 7	eqeltr 1544	. . . 4 |- Z e. V
9	8	fvconst2 3846	. . 3 |- (A e. X -> ((X X. {Z})` A) = Z)
10	9	3ad2ant3 802	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((X X. {Z})` A) = Z)
11	6, 10	eqtrd 1507	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ A e. X) -> (O` A) = Z)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  {csn 2409   X. cxp 3168  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  0vcn0v 8207   0op c0o 8404

This theorem is referenced by:  0lno 8450  nmo0 8451  nmlno0lem 8453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-0o 8408

Copyright terms: Public domain