Theorem 0ngrp 7989

Description: The empty set is not a group.

Assertion

Ref	Expression
0ngrp	|- -. (/) e. Grp

Proof of Theorem 0ngrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1468	. . 3 |- (/) = (/)
2		nne 1581	. . 3 |- (-. (/) =/= (/) <-> (/) = (/))
3	1, 2	mpbir 190	. 2 |- -. (/) =/= (/)
4		rn0 3341	. . . 4 |- ran (/) = (/)
5	4	eqcomi 1471	. . 3 |- (/) = ran (/)
6	5	grpn0 7980	. 2 |- ((/) e. Grp -> (/) =/= (/))
7	3, 6	mto 106	1 |- -. (/) e. Grp

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  (/)c0 2270  ran crn 3161  Grpcgr 7967

This theorem is referenced by:  0vfval 8163  vsfval 8194

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fo 3186  df-fv 3188  df-opr 3950  df-grp 7971

Copyright terms: Public domain