Theorem 0nelxp 3240

Description: The empty set is not a member of a cross product.

Assertion

Ref	Expression
0nelxp	|- -. (/) e. (A X. B)

Proof of Theorem 0nelxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 2284	. . . . . 6 |- -. {x} e. (/)
2		opi1 2784	. . . . . . 7 |- {x} e. <.x, y>.
3		eleq2 1535	. . . . . . 7 |- ((/) = <.x, y>. -> ({x} e. (/) <-> {x} e. <.x, y>.))
4	2, 3	mpbiri 194	. . . . . 6 |- ((/) = <.x, y>. -> {x} e. (/))
5	1, 4	mto 106	. . . . 5 |- -. (/) = <.x, y>.
6	5	intnanr 692	. . . 4 |- -. ((/) = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B))
7	6	nex 1101	. . 3 |- -. E.y((/) = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B))
8	7	nex 1101	. 2 |- -. E.xE.y((/) = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B))
9		elxp 3202	. 2 |- ((/) e. (A X. B) <-> E.xE.y((/) = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B)))
10	8, 9	mtbir 192	1 |- -. (/) e. (A X. B)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  (/)c0 2280  {csn 2409  <.cop 2411   X. cxp 3168

This theorem is referenced by:  onxpdisj 3241  nfunv 3546  funopg 3547  0ncn 5251

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667  df-xp 3184

Copyright terms: Public domain