Theorem 0met 7765

Description: The empty metric.

Assertion

Ref	Expression
0met	|- (/) e. Met

Proof of Theorem 0met

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 2701	. . 3 |- (/) e. V
2		dm0 3312	. . . . . 6 |- dom (/) = (/)
3	2	dmeqi 3301	. . . . 5 |- dom dom (/) = dom (/)
4	3, 2	eqtr2 1488	. . . 4 |- (/) = dom dom (/)
5	4	ismet 7737	. . 3 |- ((/) e. V -> ((/) e. Met <-> ((/):((/) X. (/))-->RR /\ A.x e. (/) A.y e. (/) (((x(/)y) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. (/) (x(/)y) <_ ((z(/)x) + (z(/)y))))))
6	1, 5	ax-mp 7	. 2 |- ((/) e. Met <-> ((/):((/) X. (/))-->RR /\ A.x e. (/) A.y e. (/) (((x(/)y) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. (/) (x(/)y) <_ ((z(/)x) + (z(/)y)))))
7		f0 3641	. . 3 |- (/):(/)-->RR
8		xp0r 3229	. . . 4 |- ((/) X. (/)) = (/)
9		feq2 3607	. . . 4 |- (((/) X. (/)) = (/) -> ((/):((/) X. (/))-->RR <-> (/):(/)-->RR))
10	8, 9	ax-mp 7	. . 3 |- ((/):((/) X. (/))-->RR <-> (/):(/)-->RR)
11	7, 10	mpbir 190	. 2 |- (/):((/) X. (/))-->RR
12		ral0 2348	. 2 |- A.x e. (/) A.y e. (/) (((x(/)y) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. (/) (x(/)y) <_ ((z(/)x) + (z(/)y)))
13	6, 11, 12	mpbir2an 728	1 |- (/) e. Met

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  Vcvv 1802  (/)c0 2270   class class class wbr 2609   X. cxp 3158  dom cdm 3160  -->wf 3168  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206   + caddc 5209   <_ cle 5267  Metcme 7728

This theorem is referenced by:  methaus 7821

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-opr 3950  df-met 7732

Copyright terms: Public domain