Theorem 0lnfn 9825

Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional.

Assertion

Ref	Expression
0lnfn	|- (H~ X. {0}) e. LinFn

Proof of Theorem 0lnfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellnfnt 9727	. 2 |- ((H~ X. {0}) e. LinFn <-> ((H~ X. {0}):H~-->CC /\ A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ ((H~ X. {0})` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((H~ X. {0})` y)) + ((H~ X. {0})` z))))
2		0cn 5300	. . . . 5 |- 0 e. CC
3	2	elisseti 1809	. . . 4 |- 0 e. V
4	3	fconst 3643	. . 3 |- (H~ X. {0}):H~-->{0}
5		snssi 2457	. . . 4 |- (0 e. CC -> {0} (_ CC)
6	2, 5	ax-mp 7	. . 3 |- {0} (_ CC
7		fss 3620	. . 3 |- (((H~ X. {0}):H~-->{0} /\ {0} (_ CC) -> (H~ X. {0}):H~-->CC)
8	4, 6, 7	mp2an 695	. 2 |- (H~ X. {0}):H~-->CC
9		hvaddclt 8803	. . . . . . 7 |- (((x .h y) e. H~ /\ z e. H~) -> ((x .h y) +h z) e. H~)
10		hvmulclt 8804	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ y e. H~) -> (x .h y) e. H~)
11	9, 10	sylan 448	. . . . . 6 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((x .h y) +h z) e. H~)
12	3	fvconst2 3831	. . . . . 6 |- (((x .h y) +h z) e. H~ -> ((H~ X. {0})` ((x .h y) +h z)) = 0)
13	11, 12	syl 10	. . . . 5 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((H~ X. {0})` ((x .h y) +h z)) = 0)
14	3	fvconst2 3831	. . . . . . . . 9 |- (y e. H~ -> ((H~ X. {0})` y) = 0)
15	14	opreq2d 3961	. . . . . . . 8 |- (y e. H~ -> (x x. ((H~ X. {0})` y)) = (x x. 0))
16		mul01t 5415	. . . . . . . 8 |- (x e. CC -> (x x. 0) = 0)
17	15, 16	sylan9eqr 1521	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ y e. H~) -> (x x. ((H~ X. {0})` y)) = 0)
18	3	fvconst2 3831	. . . . . . 7 |- (z e. H~ -> ((H~ X. {0})` z) = 0)
19	17, 18	opreqan12d 3964	. . . . . 6 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((x x. ((H~ X. {0})` y)) + ((H~ X. {0})` z)) = (0 + 0))
20	2	addid1 5302	. . . . . 6 |- (0 + 0) = 0
21	19, 20	syl6eq 1515	. . . . 5 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((x x. ((H~ X. {0})` y)) + ((H~ X. {0})` z)) = 0)
22	13, 21	eqtr4d 1502	. . . 4 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((H~ X. {0})` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((H~ X. {0})` y)) + ((H~ X. {0})` z)))
23	22	3impa 826	. . 3 |- ((x e. CC /\ y e. H~ /\ z e. H~) -> ((H~ X. {0})` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((H~ X. {0})` y)) + ((H~ X. {0})` z)))
24	23	rgen3 1716	. 2 |- A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ ((H~ X. {0})` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((H~ X. {0})` y)) + ((H~ X. {0})` z))
25	1, 8, 24	mpbir2an 728	1 |- (H~ X. {0}) e. LinFn

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637   (_ wss 2037  {csn 2399   X. cxp 3158  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206   + caddc 5209   x. cmul 5211  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729  LinFnclf 8762

This theorem is referenced by:  nmfn0 9827  lnfn0t 9891  lnfnmult 9892  nmbdfnlbt 9894  nmcfnext 9903  nmcfnlbt 9904  lnfncon 9905  lnfncont 9906  riesz4t 9912  riesz1t 9913

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hfvmul 8796

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330  df-lnfn 9691

Copyright terms: Public domain