Theorem 0ellim 3021

Description: A limit ordinal contains the empty set.

Assertion

Ref	Expression
0ellim	|- (Lim A -> (/) e. A)

Proof of Theorem 0ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlim0 3017	. . . 4 |- -. Lim (/)
2		limeq 2950	. . . 4 |- (A = (/) -> (Lim A <-> Lim (/)))
3	1, 2	mtbiri 715	. . 3 |- (A = (/) -> -. Lim A)
4	3	necon2ai 1603	. 2 |- (Lim A -> A =/= (/))
5		limord 3018	. . 3 |- (Lim A -> Ord A)
6		ord0eln0 3013	. . 3 |- (Ord A -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))
7	5, 6	syl 10	. 2 |- (Lim A -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))
8	4, 7	mpbird 196	1 |- (Lim A -> (/) e. A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  (/)c0 2270  Ord word 2937  Lim wlim 2939

This theorem is referenced by:  limuni3 3113  peano1 3139  oe1m 4163  oalimcl 4178  oaass 4179  oarec 4180  omlimcl 4193  odi 4194  oen0 4197  oewordri 4203  oelim2 4206  limensuci 4486  rankxplim2 4685  rankxplim3 4686

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-lim 2943

Copyright terms: Public domain